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Une leçon qui évolue (interne)

Bonjour

La leçon "Parties connexes de $\R$ et théorème des valeurs intermédiaires. Exemples et applications." est devenu "Théorème des valeurs intermédiaires. Applications."

Qu'en pensez-vous ?
J'imagine que le jury ne veut plus que cette leçon soit centrée sur les parties connexes. Mais alors, faut-il en parler quand même ou pas du tout ?

Votre avis m'interesse.
a+

Réponses

  • Cela me fait penser à un charmant exercice.

    Tout $x\in\left]0\,,1\right[$ peut s'écrire sous la forme $0,a_{1}a_{2}a_{3}\dotsc$, où $a_{i}\in\{0,1\}$, $i\in\mathbb{N}^{*}$. Dans le cas où $x$ admet deux développements binaires distincts, on choisit celui ayant une infinité de chiffres égaux à $1$. Soit $f\colon\left]0\,,1\right[\longrightarrow[0\,,1]$ la fonction définie par
    \begin{equation*}
    f(x)=\varlimsup_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i}.
    \end{equation*}
    Prouver que $f$ est discontinue en tout point $x\in\left]0\,,1\right[$ mais vérifie néanmoins la propriété des valeurs intermédiaires.
  • J'ai même l'impression à vue de nez que pour tout $x,\varepsilon$ on a $f([x-\varepsilon,x+\varepsilon])=[0,1]$.
    J'ai ni le temps ni l'envie de rédiger. Est ce vrai?
  • Effectivement, l'image par cette fonction de tout sous-intervalle de $]0,1[$ est $[0,1]$.
  • Dites, vous m'avez pourri mon post ! Bandits... :-)
  • Parce que tu trouves que mon exemple est pourri ? Je te donne de quoi remplacer les parties connexes de $R$ dans ta leçon avec un truc que tu peux même proposer en développement ...

    Grumph !

    Pour la peine, je te la repourris en t'indiquant que tu devrais chercher du côté des fonctions de Darboux appartenant à la première classe de Baire pour avoir des propriétés vraiment sympathiques à mettre dans ta leçon. Et si tu veux vraiment te la jouer devant le juri, tu peux même faire le lien avec les fonctions approximativement continues et attaquer les théorèmes de Maximoff (mais là, c'est vraiment si tu assures comme une bête).
  • Euh désolé m'sieur....

    Au fait, je l'ai déjà l'agrég (interne).

    Merci donc pour les pistes, je vais me renseigner sur les théorèmes de Maximoff (c'est son vrai nom ou un pseudo ?)

    a+
  • C'est le nom donné dans le bouquin (Differentiation of Real Functions, A. Bruckner, AMS).
    Tu peux aussi chercher du côté de la fonction de Croft pour un exemple vraiment "pourri" de fonction de Darboux (qui a le bon goût d'être nulle presque partout sur $]0,1[$, différente de la fonction nulle, d'être Baire 1, mais qui n'est pas une dérivée et n'est pas approximativement continue).

    Sinon, pour une permière approche sur les fonctions DB1, tu peux regarder : \lien{http://eom.springer.de/D/d120030.htm}.
  • J'oubliais de préciser que tout cela dépasse de loin ce que l'on attend d'un candidat à l'interne, mais d'un autre côté connaitre un exemple comme la fonction de Croft permet de montrer dans la discussion avec le jury qui suit le développement que l'on possède une culture mathématique même si on n'est pas capable de faire les démonstrations (et il semble que ce soit assez glauque pour la fonction de Croft).

    Par contre, le premier exemple que j'ai donné est parfaitement abordable à l'oral de l'interne (je peux poster une rédaction de l'exo au besoin).
  • "j'oubliais de préciser que tout cela dépasse de loin ce que l'on attend d'un candidat à l'interne"
    Inutile, je m'en suis rendu compte tout seul ;-)


    "permet de montrer dans la discussion avec le juri qui suit le développement que l'on possède une culture mathématique même si on n'est pas capable de faire les démonstrations"

    Tout à fait d'accord.
    Lors de ma leçon sur les nombres premiers ils m'ont posés une question destinée à savoir si je connaissais le théorème de Dirichlet. Ils ont effectivement apprécié que je le connaisse bien qu'étant incappable de le démontrer évidemment


    a+
  • Hello
    Le rapport est-il sorti ?
    Comment savez-vous les modifs de leçon ?
    Qui veut bosser l'agreg avec moi sur Paris ?
    Ecrire à gausspi 'at' yahoo.fr
    a+
    Merci
  • Je joins à ce message le rapport de l'agreg interne 2006 (les titres des épreuves orales y figurent)

    Epsilon.
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