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exo oral de l'X!

bonjour
j'ai un petit exo à vous proposer.
quel est le minimum de (p-1)(q-1)(r-1) quand p, q et r décrivent les entiers naturels non nuls tels que
1/p+1/q+1/r<=1.
en fait j'ai trouvé 8, mais seulemnt par tatonnement. sachant que c'est un exo de l'X, connaissez vous une méthode plus rigoureuse pour le faire?
merci

Réponses

  • j'ai encore une petite question à vous poser !
    Trouver tous les polynômes P de R[X] tels que
    pour tout k entier naturel non nul : int(k..k+1)( P(t) dt)= 1/k.
    C'est un exo d'oral de Centrale. J'ai l'impression que tel polynôme n'existe pas, mais je ne sais pas comment le démontrer.
    Qu'en pensez vous ?
    Merci infiniment
  • Bonjour tata,
    <BR>
    <BR>ex1
    <BR>tu développes (p-1)(q-1)(r-1) = pqr- (pq+qr+rq) +p+q+r-1
    <BR>
    <BR>si 1/p+1/q+1/r<=1, alors pq+qr+rp <= pqr
    <BR>donc
    <BR>
    <BR>(p-1)(q-1)(r-1) >= p+q+r-1
    <BR>
    <BR>si p = q = r = 3, tu as l'égalité (p-1)(q-1)(r-1)=8
    <BR>
    <BR>les triplets (p,q,r) tels que p+q+r-1<8 ne sont pas légion, je veux dire par là qu'il suffit dès lors d'<B>étudier quelques cas pour montrer que 8 est bien le minimum</B>
    <BR>
    <BR>p, q ou r ne peut être égal à 1 because 1/p+1/q+1/r<=1
    <BR>
    <BR>soit p le plus petit des 3 nombres
    <BR>p=q=2 est impossible, toujours because...
    <BR>(p=2 et q=3) entraîne q >=6 donc p+q+r-1>8
    <BR>(p=2 et q=4) entraîne q >=4 donc p+q+r-1>8
    <BR>
    <BR>
    <BR>on a donc p>=3 et les deux autres aussi. alors p+q+r-1>=8
    <BR>
    <BR>C'est un peu bricolé, mais je pense que ça tient la route, non?<BR>
  • Bonjour tata,
    <BR>
    <BR>ex1
    <BR>tu développes (p-1)(q-1)(r-1) = pqr- (pq+qr+rq) +p+q+r-1

    <BR>si 1/p+1/q+1/r<=1, alors pq+qr+rp <= pqr
    <BR>donc

    <BR>(p-1)(q-1)(r-1) >= p+q+r-1

    <BR>si p = q = r = 3, tu as l'égalité (p-1)(q-1)(r-1)=8
    <BR>
    <BR>les triplets (p,q,r) tels que p+q+r-1<8 ne sont pas légion, je veux dire par là qu'il suffit dès lors d'<B>étudier quelques cas pour montrer que 8 est bien le minimum</B>
    <BR>
    <BR>p, q ou r ne peut être égal à 1 because 1/p+1/q+1/r<=1
    <BR>
    <BR>soit p le plus petit des 3 nombres
    <BR>p=q=2 est impossible, toujours because...
    <BR>(p=2 et q=3) entraîne r >=6 donc p+q+r-1>8
    <BR>(p=2 et q=4) entraîne r >=4 donc p+q+r-1>8

    <BR>
    <BR>on a donc p>=3 et les deux autres aussi. alors p+q+r-1>=8
    <BR>
    <BR>C'est un peu bricolé, mais je pense que ça tient la route, non?<BR><BR><BR>
  • Bonjour,

    Pour la première question, il y a peut-être plus élégant, mais on peut procéder ainsi : on pose $f(p,q,r)=(p-1)(q-1)(r-1)$. Soit $(p',q',r')$ tel que $f(p',q',r')$ soit minimum sous la contrainte $\frac{1}{p'}+\frac{1}{q'}+\frac{1}{r'}\leq 1\,\,\,(*)$.
    Quitte à permuter $p',q',r'$, on peut supposer que $p'\leq q'\leq r'$. Lorsque $p=q=r$, la contrainte $(*)$ impose $p=q=r=3$, et donc $f(p,q,r)=8$.
    Si $p'\geq 4$, alors $8\geq f(p',q',r')\geq 3^{3}=27$; absurde !
    Donc, $p'\leq 3$.

    Si $p'=2$, alors $\frac{1}{q'}+\frac{1}{r'}\leq \frac{1}{2}$, et donc $q'\geq 3$. Si $q'=3$, alors $\frac{1}{3}+\frac{1}{r'}\leq \frac{1}{2}$, soit : $r'\geq 6$. Mais alors, $f(p',q',r')\geq 2\times 5=10$.
    Si $q'\geq 4$, alors $3(r'-1)\leq 8$, donc $r'\leq 3$, ce qui est absurde car $q'\leq r'$.

    Le cas $p'=1$ est évidemment impossible.

    Donc, $p'=3$. D'où : $(q'-1)(r'-1)\leq 4$, mais comme $3=p'\leq q'\leq r'$, on a donc : $4\leq (q'-1)(r'-1)\leq 4$, donc $(q'-1)(r'-1)=4$ et $p'=q'=r'=3$.

    On a donc montré que le minimum de $f(p,q,r)$ sous la contrainte $(*)$ est atteint en un seul point : $(3,3,3)$, et que ce minimum est $f(3,3,3)=8$.

    Maintenant, il y a sans doute plus joli...


    Amicalement.
    Olivier.
  • Merci beaucoup pour votre aide
    Qu'en pensez-vous ma deuxième question ?
  • Salut,

    pour le 2e : une idée qui devrait marcher :

    si P convient, $\int_{0}^{n}P=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\sim ln(n)$ quand $n\rightarrow \infty$. Mais pour un polynôme de degré p, cette intégrale est en $n^{p+1}$ à l'infini, contradiction.
  • pour compléter ce que dit jacquot (et éviter de tester tous les couples), il suffit d'utiliser l'inégalité arithmético-géométrique :

    $p+q+r \geq 3 (pqr)^{\frac{1}{3}} $ (IAG)
    Or
    $ (pqr)^{ \frac{1}{3} } \leq \frac{1}{3} ( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} ) \leq \frac{1}{3}$ (re- IAG )
    d'où $p+q+r \geq 9$ et on a bien égalité pour $p=q=r=3$

    Ok, l'IAG n'est pas au programme des prépas, mais c'est la méthode que j'ai pemployé avec l'examinateur, et c'est visiblement celle qu'il attendait, donc bon, on va pas se priver ... ;)

    shadow
  • shadow tu t'es gourée sur la 2e inégalité je crois, il fallait plutôt écrire :
    \[ (pqr)^{\frac{1}{3}} \geq \frac{3}{\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r}} \qquad \mathbf{(inégalité\ géométrico-harmonique)} \]

    Pour en déduire effectivement $p+q+r \geq 9$.
  • Pour le deuxième exo, tout polynôme non constant tend vers $\pm \infty$ en l'infini, donc il est difficile que l'intégrale entre $k$ et $k+1$ tende vers $0$...

    LaoTseu.
  • oups effectivement Guimauve il fallait lire (pqr)^(-1/3) pour la deuxième inégalité.
    euh j'avais pas vu ça comme ça, je m'étais contenté d'appliquer l'IAG à 1/p, 1/q et 1/r ;)
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