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Logique et Math

Soit UNE logique, dans notre cas usuel, la logique du tiers exclus etc.
Les Math sont une "descente" logique-conforme. C'est sans doute pour cela que les Math ne sont pas à inventer, et que il n'y a que des problèmes à (bien) poser et à (bien) essayer de résoudre car tout y était déjà depuis le départ ... D'une certaine façon, et d'une façon certaine, logique conformité oblige.

Et alors ?

Si cela est VRAI, alors la résolution des problèmes de Math pourra à terme être confiée à des programmes (bien nés ... ;=)), les mathématiciens ne se contentant que d'être les aides aux machines (aides intelligents, on le sait certes, mais aides quand même, c'est-à-dire, que le gros du travail intelligent sera fait quand même par les machines) ...

Sans vouloir offenser personne, le matheux (d'un certain niveau), ce sera comme le commandant de bord dans un avion ... On lui adjoindra un chien de garde bien dressé !
??? Oui, car le commandant ne sera là que pour rassurer les passagers, et le chien est dressé pour aboyer et le mordre si jamais il touche aux boutons ;=)))

Bien sûr, c'est une blague bien connue des Dassault Aviation & co.
Je vous le cite juste pour lancer le débat ...
Convivialement, sans vouloir agresser personne et surtout pas les mathématiciens (de haut niveau ?).
Qu'en pensez-vous ? de ce MAC ou "Mathematician Aided Computer" ?

Puisque tout est dans la démarche logique, ne pourra-t-on enrichir progressivement cette démarche (dont l'invariant est la conformité en logique, celle que l'on aura choisie), l'améliorer constamment, pour par exemple, faire des rapprochements que notre "capacité" d'humain ne saurait physiquement faire ?

@+

Questions subsidiaires:
1. De l'oeuf et de la poule en plus complexe ... C'est la conformité en logique qui contient les Math ou l'inverse ?
2. Est-ce que l'on a mathématisé (pas seulement modélisé, mais modélisé en invariant fort ... huh ?) la complexité, afin de pouvoir comprendre - toute chose égale par ailleurs - si tel ou tel problème de Math. est indubitablement (démontré quoi ...) plus ardu que tel autre.

Ouf !
Bonnes vacances et à vos thèses, partez !

Réponses

  • Il va jamais crever le fantasme des maths torchés par ordinateur ? On se croirait encore du temps de Hilbert.
  • Bonjour

    Pas "torchés", juste "aidés", pertinemment s'entend.

    Avec l'humain comme "étincelle" ou "candide" ou simplement comme un homme libre.

    Ma foi, derrière les machines, ce ne sont sans doute que du savoir logique-conforme, évoluant à son rythme, c'est-à-dire d'autres humains, d'autre matheux, "pourquoi pas ?

    Aux fanstasmophobes ... cette histoire de notre ami François. Il nous a dit ceci : "Vous, vous avez des fantasmes. Moi, mes fantasmes, je n'en ai plus, car je les ai réalisés".

    Mais bon ...

    "If you can bear to hear your words twisted by knaves ..."
  • MELOCALINE,
    Le théorème de Gödel devrait t'intéresser. C'est le merveilleu théorème qui à mis cette vision des maths "à base fixe" définitivement au rancart.
    Cordiallement, jean-c_rien
  • Bonjour

    Les mathématiques réduits aux démonstrations logiques:stupéfiant!

    La qualité fondamentale du mathématicien est : l'intuition
    On ne démontre pas n'importe quoi, mais une proposition que l'on sent intutivement vraie et qui a une utilité. Cette intution nous indique en plus les grandes lignes de la démonstration.
    La logique sert à valider l'intuition

    Cordialement
  • Bonjour à tous, et en particulier à ceux qui ont répondu jusqu 'ici ...

    1. Merci d'avoir réagi.

    a/ "... fantasme" de Rosenrot
    b/ "...vision des maths "à base fixe" définitivement au rancart" de jean_c_rien (je salue la beauté du pseudo, pas très en phase malheureusement avec les termes de la réaction, apparemment de type "name quoting", à suivre cependant ;=))
    c/ "... la qualité fondamentale du mathématicien est : l'intuition" de Llautard Qui oserait dire le contraire ? Mais c'est une invariance (quasiment) applicable à des tas de professions. Donc, je suis d'accord

    2. Mais, sauf erreur de ma part, le "problème" à débattre a été sans doute mal compris, et certainement n'a pas été "mathématiquement" reçu, voire excessivement épidermiquement perçu !
    a/ On fantasme ou "intuite " (autre façon de le dire): voir le commentaire de Llautard. C'est sans doute là un phénomène très difficile à "mathématiser" (non seulement modéliser, car je le pense en invariant fort) donc à programmer.
    b/ Il s'agit pas de "base fixe " pour rien du tout, sauf pour la logique-conformité (logique: il s'agit de celle de base choisie, une parmi d'autres, mais matrice du reste)
    c/ L'intuition, évidemment, sans UNE doute condition nécessaire. Mais , on serait tous d'accord là -dessus pas suffisante. Après l'intuition, vient le travail de démonstration, en un mot de "monstration" que c'est irréfutable sous peine de réfuter sa propre conformité en logique

    3. Pour plus de clarté:
    - Il n'y a aucune agressivité dirigée contre personne, et surtout pas aux les mathématiciens.
    - Il y a une question sur les relations entre les activités en cours et à venir(mathématiques) des humains et leur savoir ("misen conserve" le plus efficacement et efficiement ", en mathématiques et en sciences dérivées de la filière conformité en logique)
    a - les humains en raison de leurs contraintes: contraintes en logique imposée (point de départ ?), contraintes physiques - d'aucuns auraient dit "physico -chimiques donc contraintes en "capacité "
    b - leur savoir en conserve, car utliser de façon efficace et efficiente le savoir passé de façon pertinente, n'empêche en rien d'intuiter, au contraire, si cela peut se libérer des autres "cogitations et calculs" nécessaires mais grossêbouffeurs d'énergie intellectuelle (mais c'est une question de goût ?)


    PS
    Sur un mode mineur ... et convivial.
    I -"Il y a trop de filtres "
    Ì - "Le but de la discussion ce n'est pas pour avoir raison, c'est pour ... perdre son temps à discuter pour en gagner après ?"
    ;=)
    "
  • salut,
    t'es-tu déjà posé la question de savoir si tes interlocuteurs avaient une chance de comprendre le "blabla" que tu racontes ?
  • C'est vrai qu't'es un peu difficile à suivre. Mais bon, je crois saisir grosso modo ce que t'endends par ton logique conforme. Commençons par poser la bonne question : est ce que tu considère que les mathématiques sont subalternes à la logique ou que ce sont deux choses parfaitement séparées? Ou encore un truc entre les deux.
    Merci, jean-c_rien
  • Substantiellement, tu as raison de penser que les mathématiques SONT de la logique... je le pense aussi.

    En revanche, j'estime que tu as tort d'imaginer la possibilité même de remplacer la RECHERCHE mathématique par une EXPLORATION systématique informatique (si tant est que ce soit un jour possible... mais admettons ce fait pour la discussion).
    Peu importe qu'un ordinateur ait démontré tel ou tel "pseudo-théorème" si personne ne sait à quoi il peut bien servir.
    Un théorème se présente presque toujours sous la forme "A implique B". Une fois énoncé, notre super ordinateur ne devrait avoir aucune peine à le démontrer... mais sauf exploration systématique (et par conséquent monstrueusement longue voire infinie) l'ordinateur ne trouvera JAMAIS ce théorème par lui-même.
    Ce qui fait l'essence du mathématicien, c'est précisément sa capacité à organiser un savoir, et à orienter la recherche dans la direction qui l'intéresse. Une machine ne peut pas faire ça.

    Pour cette raison, je répète que ton rêve restera du domaine de la science-fiction.
  • bisam,
    je croît entendre dans tes propos que la vérité des assertions mathématiques est entièrement déterminée par les règles de la logique. C'est précisément ce que pensait Hilbert (et il n'était pas le seul), et c'est justement cette idée que le théorème de Gödel à détruit, en démontrant que la capacité du mathématicien à "sortir du cadre" pour s'offrir de nouveaux moyens d'investigation, et donc de créer de nouvelles maths de toutes pièces, n'est pas réductible à la méthode axiomatique.
    Cordiallement, jean-c_rien
  • Il est vrai que j'ai laissé le théorème de Godel en arrière-plan... mais je ne l'ai pas oublié.
    Je ne voulais pas ouvrir un débat supplémentaire !

    Cependant, je pense toujours qu'Hilbert avait raison... ll y a d'après moi UNE vérité mathématique... Les mathématiciens la cherchent, même si Godel a affirmé qu'ils ne pourront jamais être certains de l'avoir trouvée. Tout au plus pourront-ils montrer qu'ils ont trouvé une plus grande partie de LA vérité.
  • Bonjour à tous
    Je lance une hypothèse en espérant que vous me direz si je me trompe !
    L’ordinateur devra se baser sur un système formel fixé pour "faire des mathématiques". Or le théorème d’incomplétude de Gödel nous dit en gros que tout système formel assez complexe ( ou contenant l’arithmétique ) ne se suffit pas à lui-même pour prouver tout ses théorèmes !
    Donc l’ordinateur sera bien bloqué pour prouver certains théorèmes d’où l’idée que l’ordinateur aura bien du mal à remplacer l’homme !
    Et puis un autre point de vue, le mathématicien étudie les math pour son plaisir avant tout, et donc quel intérêt de laisser la machine faire ce qu’il aime tant faire ?

    Bien cordialement Will !

    PS : A la Réunion premier sujet de philo : la technique doit-elle nous libérer du travail ?
  • will,
    pas de blabla, juste des chifres : tu as à 360% raison (ça veut dire que t'as fait tout le tour du problème).
    Et quand on sort du cadre pour pallier au problème du défaut d'axiome, on entre dans un monde purement sémantique. Faire redescendre ce nouveau sens à travers de nouveaux axiomes est de l'ordre de la création pur, aucun système formel n'aurait pu le prédire. Le fait que les mathématiciens s'entendent (et encore c'est pas toujours le cas) est le fruit d'un "partage d'intuition" qui passe à travers l'enseignement des mathématiques.
    Cordiallement, jean-c_rien
  • Bonjour à tous !

    Juste une précision importante.

    Il ne s'agit pas d'ordinateur (ni des souris et des hommes ;=)))
    mais d'une coopération "optimisée" en efficacité et en efficience entre
    le chercheur ou l'équipe de chercheurs dans son travail et
    (par delà le temps) les résultats et enseignements validés des chercheurs-trouveurs du présent et du passé.

    L'"ordinateur" dans le débat ne serait qu'un outil de plus, mais un outil-allié, puissant dans certaines des capacités telles la recherche d'information, le calcul "formel", les calculs élémentaires, les tests, et sans doute les rapprochements logique-conformes, etc. (vous en trouverez d'autres exemples)

    Ce qu'il aura dans le ventre, ce sera ce que des mathématiciens leur auront mis dedans, avec son aide, si pertinent.

    BREF

    1. Il s'agit d'un débat concernant la recherche mathématique non plus en solo-solo, ni en équipe-solo, ni en équipe d'équipes-solo, mais en "SYSTEME PERENNE" où l'échelle de temps est sur le long terme, dont la constante de temps (de vie ?) sera celle de l'humanité, dépassant par construction la vie d'un individu ou d'un groupe d'individus.

    2. Il s'agit d'une COOPERATION ORGANISEE mathématiquement (optimisée ? peut être) entre les prédécesseurs, les contemporains et leurs successeurs.

    3. La collaboration Chercheurs-Système de Chercheurs sera un SYSTEME DE RECHERCHE d'ordre supérieur (englobant) vivant , càd. enrichi, amélioré, corrigé, affaire de tous et favorisant les communications, l'information, l'éclosion de pistes et autres intuitions plus ou moins farfelues ou géniales (géniales = farfelues qui ont réussi ?)

    Ouf, c'était un peu long. Mais il le fallait


    _____________

    Un peu de glossaire:

    Efficace: ... qui a atteint son but (par exemple on conquiert une colline)
    Efficience: ... à efficacité identique, qui a "consommé" moins de ressource - notamment: temps, individus, "complications", petits et gros sous, etc. (par exemple la colline est conquise avec des morts ou sans aucun mort)


    Bien cordialement à tous ...
  • Whaou, ton verbe est toujours aussi déroutant. Est-ce qu'au fond ta question est :
    Peut-on accepter comme preuve dont une partie de la démonstration se cache dans les calculs d'une machine subissant les contraites du monde physique ? Style est-ce qu'on peut accepter la démonstration du théorème des 4 couleurs ?
    Merci, jean-c_rien
  • Bonjour,

    MELOCALINE, il me semble parfois que je lis du Jean Yves Girard, qui, au lieu de devenir mathématicien, aurait dû suivre un cursus philosophique. On pourra lire ce qu'il a écrit dans le "théorème de Gödel" pour se convaincre de ce point. Il y a en effet certaines incohérences dans ces propos (Lire par exemple ce qui est dit au sujet des 10F pour acheter un paquet de M..., et des 10F pour acheter un paquet de C..., et voir l'allusion erronée avec la proposition A=>A & A). Et il y en a tout autant chez toi, MELOCALINE, où tu sembles confondre Mathématiques et Informatique. Bien entendu, l'informatique peut être un outil précieux pour le mathématicien. Mais, les mathématiques ne peuvent être informatisées toutes entières, car cela reviendrait à les formaliser à l'extrême pour y parvenir avec exactitude. On arrive à construire des algorithmes, mais seulement dans les cas où les problèmes mathématiques, et autres, ne font pas difficulté. Je pense que tu devrais lire ce que Gödel a esquissé là dessus.
  • Humm, je suis désolé Prudence, mais je suis encore en désaccord avec toi. Dire que les propos de Jean Yves Girard sont incohérent, je trouve ça un peu fort. En particulier sa remarque sur le fait que la proposition A => A & A est dynamiquement fausse, dans son suberbe "Champ du Signe". Tu pourras trouver de plus amples informations sur la logique linéaire sur le site :
    <http://iml.univ-mrs.fr/~girard/Articles.html&gt;
    Une bonne introduction est l'article "Du pourquoi au comment : la théorie de la démonstration, du programme de Hilbert à la logique linéaire".
    Ce qui m'interpelle le plus, c'est le fait que tu rapproche la prose de MELOCALINE et celle de Jean Yves Girard... Quoique, je doive avouer que quand j'était au début de ma scolarité lycéenne j'était tout à fait satisphait des positions formaliste de Hilbert et du positivisme. Tant et si bien que j'était en désaccord profond aves Girard, et ceux probablement parceque je pigeais un mot sur quatre. Puis j'ai connu l'université, j'ai tourné le théorème de Gödel dans ma tête jusqu'à en devenir dingue, et puis... je suis retombé sur ce texte, je l'ai relu, et... Eh bien je n'en corrigerais pas une ligne. A dire vrai, je n'ai jamais lu d'autres auteurs qui m'ont donné la sensation d'avoir saisi le théorème de Gödel (à par peut ëtre Douglas Hofsdtater, même si "Gödel, Escher, Bach" est assez souvent tiré par les cheveux).
    Sans rancune, jean-c_rien
  • Bonjour à tous

    Il faut que cela murisse (et ne pourrisse point encore) ...

    _______________________________________

    "Whaou, ton verbe est toujours aussi déroutant". C'est vrai. Mais est-ce que ce qu'il veut dire est logique-conforme ? ;=)

    " ... tu sembles confondre Mathématiques et Informatique". C'est faux. Mais on est libre bien entendu de le penser ;=)

    _______________________________________


    Si j'écris pour simplifier (car ce n'était point un processus simple) que:

    Au début était une logique (soit la logique mathématique, bivalente).

    Des hommes s'en sont servi pour élaborer sous contrainte (de conformité en cette logique) toutes sortes de théories. Mon verbe aurait dit cela en "Cette logique enfantait avec les humains etc. ;=) " Mais bon les bonnes choses sont courtes. Théories de ceci et de cela: nombres, ensembles, relations, structures ...

    Qui a leur tour engendraientt d'autres théories ou plutôt mutaient, croissaient et, toujours, foisonnent. Sans qu'aucun (admettons "aucun", c'est une image) jardinier (chercheur-mathématicien) n'ait le temps ni maintenant à lui seul le pouvoir de les relier "ensemble".

    Jusqu'à ce que l'un d'entre eux redécouvre que tout ce les jardiniers font, c'est simplement (c'est vite dit, mais on se comprend) de jouer un jeu dont les règles génériques sont forts simples - la conformité en logique bivalente.

    Jusqu'à ce que leurs outils de jardinier en s'értant développé, les supplantent en des tas de compartiment et les oblige à voir leur travaux autrement ...

    BREF (c'est une façon de parler)

    A un moment donné, disons aujourd'hui déjà peut-être ...

    a) dans un premier temps, le jardinier oriente son effort vers le "fantasme" (intuition si vous voulez, ce sera son domaine de prédilection voire son domaine réservé) et les outils ne feront que les aider à le "réaliser" le fantasme (démontrer ou montrer que c'est blindé au sens de logique-conformité)

    b) puis viendra un second temps où le jardinier s'aidera de ses outils - il y aura trouvé un grand intérêt - pour "intuiter". Les outils n'intuitent pas encore dans ce second temps mais contribue aux intuitions en les préparant (ce que j'ai voulu dire en parlant de rapprochements ... de choses fort éloignées de la pensée humaine - nombre de neurones TRES GRAND mais limité quand même (vrai ?), dans un environnement physico-chimique "volatile" (Godel connaissait-il les maux de tête qui empêchent de démontrer même des évidences - c'est encore un truc à sa façon, si c'est une évidence alors faut-il le démontrer? Peut-il y avoir de solution sans problème et inversement ? Là, j'exagère "caïman" )

    c) enfin viendra le temps (???) où les outils et les jardiniers se confondent; càd. qu'on ne saura plus alors rendre à César ce qui est au jardinier ou à ses outils.


    Est ce sera alors le temps MELOCALINQUE ;=)

    _______________________________________

    Pour l'instant Vivent les Désirs d'Avenir et les Vacances !
    (aucune logique-conformité avec Godel, mais c'est cela l'important sans
    doute).
    _______________________________________

    @+
    Au plaisir de vous lire.
    Vous m'avez beaucoup appris, par vos réactions. Merci.
    Et merci de ne pas avoir réfuté la conformité en logique ... ;=)))))
  • Bonjour

    Jean-C... peux-tu m'expliquer en quoi la proposition A=>A&A est dynamiquement fausse ?
  • Bonjour

    Prud... peux-tu m'expliquer pourquoi tu ne lis pas l'article où c'est expliqué? Ca demande un effort mais tu devrait y arriver.
  • Bon alors là je suis desolé mais je m'insurge, etant dans le labo de girard, je pense que je sais de quoi je parle.
    Et l'exemple du paquet de clopes est tout à fait juste, c'est de la logique linéaire. C'est la difference entre multiplicatifs et additifs, et ca n'a rien à voir avec godel.
    D'ailleurs l'exemple du menu d'Yves Lafont est encore meilleur. Si ca vous interesse je peux poster des liens.
    Quand à la remarque sur girard qui est soit disant plus philosophe que mathématicien, je tiens à dire qu'il a quand meme prouvé enormement de trucs en maths, et si la partie immergée (car dispo en ligne) de l'iceberg, ce sont ses publis depuis 90, il a commencé en 72...
    Enfin bref, si vous pouviez eviter de médire sur les gens par ignorance, ca serait pas mal. Et puis meme toute remarque de ce genre envers n'importe qui n'a pas vraiment sa place sur un forum de maths.
  • mon avis de matheux dilettante n'est bien entendu nullement autorisé mais je ne peux m'emêcher de penser de Jean-Yves Girard est un génie (par ailleurs d'une très grande culture et d'un humour féroce). Sa lecture fait partie de celles qui réveillent l'esprit !
  • Comme je suis heureux de voir que je ne suis pas le seul à adorer cet homme.
    A la décharge de Prudence je dirais quand même que Girard parle de A=>A&A dans le livre "Le Théorème de Gödel", c'est vrai que c'était un petit peu hors sujet, mais bon vraiment un tout petit peu.
  • MELOCALINE,
    Je t'avais un peu oublié, je vais résumer carricaturallement (encore que) ma position :
    Je ne considère pas que l'intuition serve aux mathématiques de guide pour avoir des résultats intéressant, mais que les mathématiques n'existent pas sans l'intuition.
    Les mathématiques ne sont pas formelles mais abstraites, et ce sont les mathématiciens et non la logique conformité qui décident de la vérité d'une assertion.
    Cordiallement, jean-c_rien
  • Rapellons quand meme le pb des 4 couleurs a été résolu avec l'aide d'un ordinateur.

    L'ordinateur prendra une place importante dans la recherche mathématiques des prochains siecles ca ne fait aucun doute. Cela dit il ne sera la que pour executer des calculs pénibles et lourds mais je vois mal un programme démontrer HR de son propre chef ^^


    t-mouss
  • Qu'on soit bien d'accord, la résolution par l'ordinateur du théoreme des quatres couleurs se borne à de la vérification de cas, il n'y fait en aucun cas des déductions.
    Gonthier a recemment donné une preuve entierement validée par COQ du théoreme. Donc la preuve a été validée par ordinateur ;)
    Sinon il ne faut pas rever, amusez vous a faire de l'arithmetique en COQ et vous verrez à quel point la déduction automatique est limitée.
  • Petite précision : Gonthier et Werner.

    (Je ne sais pas exactement qui a fait quoi, mais j'ai beaucoup d'admiration pour Werner, et comme ils ont publié le résultat à deux...)
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