exponentielle
bonjour
voila j'ai deux questions concernant la leçon 80 caractérisation des fonctions expo .....
1) dans cette leçon comment montrer rigoureusement (avec des epsilons car ) (en fait j'ai fait un truc mais c'est un peu bizarre)
que si un morphisme de $(\mathbb{R},+) $ dans $(\mathbb{R}_{+}^{*})$ est continue en un point alors il est continue partout ?
2) comment montre t'on les limites sans avoir recours à l'exponentielle de base $e$?
merci
geoffrey
voila j'ai deux questions concernant la leçon 80 caractérisation des fonctions expo .....
1) dans cette leçon comment montrer rigoureusement (avec des epsilons car ) (en fait j'ai fait un truc mais c'est un peu bizarre)
que si un morphisme de $(\mathbb{R},+) $ dans $(\mathbb{R}_{+}^{*})$ est continue en un point alors il est continue partout ?
2) comment montre t'on les limites sans avoir recours à l'exponentielle de base $e$?
merci
geoffrey
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Réponses
tu utilises u(x+h) = u(x)u(h) -> u(x) u(0) lorsque h tend vers 0 par continuité en 0
Or u est un morphisme donc u(0) = 1 et u est continue en x.
ps : n'essaye pas les epsilons sur ce coup, ça va t'embrouiller plus qu'autre chose
petit prolongement : morphismes continus de (R +) dans (GL_n(R),x) ?
pour le 1), en supposant qu'on ait montré que $f$ est continue en $0$ avec $f(0)=1$, tu peux après utiliser le fait que, à $x$ fixé
$$|f(x+h)-f(x)|=|f(x)|\,|f(h)-1|$$
et $|f(h)-1|$ peut "être rendu aussi petit qu'on veut" etc...
pour le 2), tout dépend de la définition adoptée pour les exponentielles. Moi, j'ai appris les exponentielles au lycée à partir des logarithmes, donc les limites des exponentielles s'obtenaient très facilement. Maintenant, il semble qu'on procède autrement : consulte un bouquin de terminale S pour voir ce qu'on y fait...