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théorème de Joris

Bonjour,

Connaitriez vous une référence en français et assez détaillée pour le théorème de Joris :

Si $m$ et $n$ sont premiers entre eux et $f \ : \R \longrightarrow \R$, une fonction telle que $f^n \in C^{\infty}$ et $f^m \in \C^{\infty}$ alors $f \in C^{\infty}$ ( la puissance désigne une multiplication et non pas une composition répétée où une dérivation)

Merci

Réponses

  • c'est du bezout à mon avis.

    f= (f^n)^u . (f^m)^v est C infini.

    je vois pas ce qu'il y a de si sorcier.
  • Et si u ou v est négatif ?
  • Mais u et v peuvent être négatifs !
  • ça marche si f ne s'annule pas, parce qu'avec Bezout u ou v sera négatif.
  • certes. j'ai résolu un cas c'est déjà pas mal.
  • d'ailleurs, si f ne s'annule pas, j'ai aussi résolu cette question même pour u et v négatifs :p
  • Il y a une preuve élémentaire mais en anglais à cette adresse-ci :

    <http://math.berkeley.edu/~robmyers/research/smoothgen3.pdf&gt;
  • Tiens il utilise la règle de l'Hospital, ça va faire plaisir à certains...
  • Il y a une très jolie preuve algébrique due à Ichiro Amemiya et Kazuo Masuda qui a été réécrite en français dans la RMS l'année dernière. Les articles de Joris sont de jolis papiers d’analyse. Il y a aussi un joli papier de Krantz : Nonlinear conditions for differentiability of functions. J. Anal. Math. 45, 46-68 (1985).
    (la preuve de Robert Meyers est douteuse.)
  • Merci à tous , effectivement j' avais eu accès avant à la preuve de Meyers et il y avait certains points que je n' arrivais pas à éclaircir.

    J' ai hate de jeter un coup d' oeil dans les rms, une preuve algébrique celà me parait surprenant mais très intéressant, merci pascal pour la référence
  • En fait, moi aussi j'ai eu des problemes avec quelques arguments de Myers et j'ai demande a un specialiste en analyse qui m'a dit que la preuve ne sert a rien, car a un moment donne ( la recurrence) il cache toute la difficulte du probleme. Pour moi, cela n'est pas une preuve valide. Par contre, celle de la RMS est splendide.
  • Pour les intéressés, la preuve d'Amemiya et Masuda se trouve ici :
    <BR>
    <BR><a href=" http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.kmj/1138038992"&gt; http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.kmj/1138038992</a&gt;
    <BR>
    <BR>(PDF de 603 Ko à télécharger)<BR><BR><BR>
  • Oui il y a un problème dans la récurrence ; ça coince à la fin du cas numéro 1 (je fais référence à la numérotation de l'Amer math Monthly).
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