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suites

Bonjour!
encore dans des exos de suites; je voulais savoir si mon raisonnement etait correct ou non:
soient $u_n$ et $v_n$ deux suites reelles tel que:
$lim n\rightarrow \infty (u_n)²+ (u_n)(v_n)+ (v_n)²=0$
On veut montrer que $u_n$ converge vers 0 et que $v_n$ converge vers 0.
J'ai pose x la limite de $u_n$ et y la limite de $v_n$.
pour y fixe: on cherche les racines de $x²+xy+y²$
delta= -3y²
et pour x fixe: on cherche les racines de $y²+xy+x²$
delta= -3x²
les suites sont reelles; conclusion x=0 et y=0
donc $u_n$ et $v_n$ converge vers 0.
Est-ce correct?

et deuxieme exo; cette fois ci je ne comprends pas la correction...
soient $u_n$ et $v_n$ deux suites, tel que $0\leq u_n$ et $v_n \leq1$
et $lim n\rightarrow \infty u_nv_n=1$
que dire de $u_n$ et $v_n$
on obtient: 0\leq u_nv_n\leq u_n$ et le corrige conclue par:
par le theoreme des gendarmes $limu_n = limv_n=1$
là j'ai pas compris...

Merci d'avance
amicalement :)

Réponses

  • Bonjour!
    Desole pour le doublon :s; je porte la poise sur le latex en ce moment, j'ai reverifie, je ne sais pas ce qui cloche:
    Bonjour!
    encore dans des exos de suites; je voulais savoir si mon raisonnement etait correct ou non:
    soient $u_n$ et $v_n$ deux suites reelles tel que:
    $lim n\rightarrow \infty u_n²+ u_nv_n+ v_n²=0$
    On veut montrer que $u_n$ converge vers 0 et que $v_n$ converge vers 0.
    J'ai pose x la limite de $u_n$ et y la limite de $v_n$.
    pour y fixe: on cherche les racines de $x²+xy+y²$
    delta= -3y²
    et pour x fixe: on cherche les racines de $y²+xy+x²$
    delta= -3x²
    les suites sont reelles; conclusion x=0 et y=0
    donc $u_n$ et $v_n$ converge vers 0.
    Est-ce correct?

    et deuxieme exo; cette fois ci je ne comprends pas la correction...
    soient $u_n$ et $v_n$ deux suites, tel que $0\leq u_n$ et $v_n \leq1$
    et $lim n\rightarrow \infty u_nv_n=1$
    que dire de $u_n$ et $v_n$
    on obtient: 0\leq u_nv_n\leq u_n$ et le corrige conclue par:
    par le theoreme des gendarmes $lim u_n = lim v_n=1$
    là j'ai pas compris...

    Merci d'avance
    amicalement :)

    je suis desole pour les moderateurs; pourrais-je avoir une courte explication de ce qui ne va pas dans ce code pour eviter de refaire l'erreur
    merci.
  • Je n'ai pas regardé le deuxième exo mais pour le premier, il faudrait que tu justifies que les limites des suites existent
  • Bonjour!\\
    encore dans des exos de suites; je voulais savoir si mon raisonnement etait correct ou non:\\
    soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites reelles tel que:\\
    $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty} (u_n^2+ u_n v_n+v_n^2)=0}$\\
    On veut montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers 0.\\
    J'ai posé $x$ la limite de $(u_n)$ et $y$ la limite de $(v_n)$.\\
    pour $y$ fixe: on cherche les racines de $x²+xy+y²$\\
    $\Delta= -3y²$\\
    et pour $x$ fixe: on cherche les racines de $y²+xy+x²$\\
    $\Delta= -3x²$\\
    les suites sont réelles; conclusion x=0 et y=0\\
    donc $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers 0.\\
    Est-ce correct?\\
    \\
    et deuxieme exo; cette fois ci je ne comprends pas la correction...\\
    soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites, telles que $0\leq u_n$ et $v_n \leq 1$\\
    et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty} u_n v_n=1}$\\
    que dire de $(u_n)$ et $(v_n)$ ?\\
    On obtient: $0\leq u_n v_n\leq u_n$ et le corrigé conclue par:\\
    par le théoreme des gendarmes $\lim u_n = \lim v_n=1$\\
    là j'ai pas compris...\\
    \\
    Merci d'avance\\
    amicalement :)
  • pour le 2eme exo il doit manquer des données car les suites constantes$u_n=2$ et $v_n=1/2$ satisaisent aux hypothèses et $lim u_n=2$ , $lim v_n=1/2$
  • dans l'exo 2, l'hypothèse ne serait-elle pas plutôt que les {\bf deux} suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ont leurs termes dans $[0;1]$ ?
  • pour l'exo 1, tu ne dois pas seulement prouver que la seule limite possible des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ est $0$, mais surtout prouver leur convergence. Pour cela, écris que
    $$u_n^2+u_nv_n+v_n^2=\left(u_n+\frac{v_n}{2}\right )^2+\frac{3}{4}v_n^2$$
  • Pour traiter le premier en une seule fois, montre qu'il existe un scalaire M>0 tel que |x|<=M * racine_carree(x^2+xy+y^2) pour tout (x,y) couple de réels. Pourquoi cela ? Passe en polaires, ou réduis la forme quadratique définie positive x^2+xy+y^2.

    Pour le second, montre que 1 est la seule valeur d'adhérence des suites x_n et y_n (je pense avoir bien compris que l'encadrement concerne x_n ET y_n).
  • oui, je crois que c'est en gros ce que j'avais dit un peu plus haut, pour ça tu peux aussi considerer que $u_n^2+u_nv_n+v_n^2 \geq 1/2(u_n^2+v_n^2) \geq 0$ cette inégalité viens du fait que $(x+y)^2 \geq 0$ soit $xy \geq -1/2(x^2+y^2)$
  • taupin2,
    pour l'exo 1 : l'égalité que je propose permet de régler le problème rapidement et "en une seule fois" comme tu dis.
    pour l'exo 2 : pas la peine de chercher bien loin si on rectifie l'hypothèse dans le sens que j'ai indiqué : $0\leq u_nv_n\leq u_n \leq 1$ et $0\leq u_nv_n\leq v_n \leq 1$ : terminé..
  • Bonjour!
    Voici les deux exercices tel que je les ai lus :
    <http://mpsiddl.free.fr/exosup.php&gt;
    Il faut aller dans série numériques et il s'agit des exercices 6 et 7 respectivement. Oui pour le premier la meilleure façon est celle que vous avez indiqué, je voulais juste savoir si on pouvait utiliser ce que j'avais fait dans le premier post.

    Amicalement :)
  • bonsoir racinedecheveux,

    dans l'exo 7 (ton deuxième exercice) de la référence que tu donnes, l'hypothèse sur les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ est bien celle que j'avais indiquée plus haut : c'est tout simplement que l'énoncé que tu avais sous les yeux l'exprime d'une façon exagérement "résumée". Je t'accorde qu'on pouvait s'y tromper.

    pour l'exo 6 (ton premier exercice), l'indication que je t'ai donnée permet quand même d'obtenir une conclusion plus rapide que celle du corrigé proposé~:
    $$u_n^2+u_nv_n+v_n^2=\left(u_n+\frac{v_n}{2}\right )^2+\frac{3}{4}v_n^2$$
    est le carré de la norme euclidienne d'un vecteur de $\R^2$, et cette quantité tend vers $0$, d'où la convergence vers $0$ des composantes de ce vecteur (c'est d'ailleurs l'argument qui est utilisé à la fin du corrigé de ta référence).
    Pour ce que tu as fait dans ton premier post : comme on te l'a fait tout de suite remarquer, ça prouvait (de façon toute de même assez compliquée) que, {\bf si} les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ étaient convergentes, {\bf alors} elles convergeaient toutes deux vers $0$, mais ça ne prouvait pas l'essentiel : leur convergence.
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