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Unicité solution d'équa diff sans Cauchy

Bonjour tous le monde de ce Forum,
Je vous serais reconnaissant de me donner une indication sur la preuve ou un contre exemple:
On sait d'aprés un résultat de calcul différentiel que si on se donne une equation différentielle de deuxième ordre et on donne la valeurs de la solution en un point $x_0$ ainsi que la valeur de sa dérivée au même point $x_0$ alors on peut affirmer que la solution est unique.
Je pose le problème de la façon suivante:
On se donne une equation différentielle de deuxième ordre et sachant que j'ai démontré que ses solutions appatiennent à $L^{2}(R)$. Si j'impose la condition suivante :
La norme 2 de ma solution soit égale à 1 au lieu de donner la valeurs de cette solution en un point $x_0$ ainsi que la valeur de sa dérivée au même point $x_0$.
NB: Je veux dire par norme 2 d'une fonction $f\in{L^{2}(R)}$ le réel suivant:
$$||f||_{2}=\left(\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^{2}dt\right)^{1/2}$$
Ma question est: Est ce que j'aurais l'unicité de la solution comme dans le premier cas.
Merci bien davantage pour l'aide
Amicalement
Moumni

Réponses

  • S'il s'agit d'une gentille équadiff linéaire du deuxième ordre, alors les solutions sont de la forme af+bg, avec a et b deux scalaires quelconques.

    Fixer la norme 2 ne suffit donc largement pas (une condition pour deux inconnues).
  • Il ne faut pas résumer le théorème de Cauchy Lipschitz par : 2 conditions ==> unicité.

    Exemple: le problème de Dirichlet y"=-y avec y(0)=y(pi)=0 admet une infinité de solutions sur R bien qu'il y ait deux conditions données.
  • "Il ne faut pas résumer le théorème de Cauchy Lipschitz par : 2 conditions ==> unicité."

    Certes, mais personne n'a fait cela ici.
  • Merci bien pour vos réponses.
    @ johann: tu as raison il n'y a pas unicité de la solution surtout lorsque mon equadiff est linéaire. En effet si est solution de mon problème du premier message cad si f est solution de mon equadiff et vérifiant la norme 2 de
    f = 1 alors -f est aussi solution de mon problème.
    Mais si j'impose à ma solution f de prendre la valeur 1 en 1 et de vérifier
    la norme 2 de f = 1, est ce que j'aurais l'unicité de la solution comme ça?
    A priori oui sauf si on donne un contre exemple. je l'ai démontré mais je parle d'une manière intuitive.
    Je dis intuitive parce que j'ai remplacer les deux conditions: donner la valeurs de cette solution en un point $x_0$ ainsi que la valeur de sa dérivée au même point $x_0$ qui donne l'unicité de la solution, par les deux conditions suivantes:
    * f doit prendre la valeur 1 en 1
    * la norme 2 de f = 1
    ma question est ce que j'ai l'unicité sous ces deux nouvelles conditions
    Merci bien davantage pour l'aide.
    Amicalement
    Moumni
  • A vue de nez, il n'y a pas unicité, car on peut penser à une infinité de fonctions qui valent 1 en 1, qui n'ont pas la même dérivée en 1 et qui ont la même norme (La norme choisie est globale et ne dépend pas des valeurs prises en 1).

    Cordialement
  • @ GERARD Est ce que je pourrais avoir un contre exemple ???<BR>
  • Question de Moumni :

    * f doit prendre la valeur 1 en 1
    * la norme 2 de f = 1

    bonjour, Moumni,
    avec ça, je ne sais pas, quoique je pense que la réponse est non (je cherche un contrex). Mais voici un pb approchant, où la norme est sur $[0, 2\pi]$ :
    f sol. de y"+y=0, f(0)=0, ||f||_2=1 donne deux solutions (opposées).

    Amitiés, J_J
  • Ce à quoi je pense est : il existe une ED_2 linéaire dont les sol. maximales sont les C.L. de $x\to\text{e}^{-x^2}$ et $x\to x\text{e}^{-x^2}$, car leur wronskien ne s'annule jamais. Toutes sont L$^2$. Imposer $f(0)=1$ va donner une droite affine de solutions qui devrait couper la boule unité de L$^2$ en deux points, et non un seul. Je vérifierai qd j'aurai du papier !

    Amitiés, J_J
  • @ john-john
    Merci pour les réponses, je vais chercher quelle equadiff dont les solutions sont
    $x\rightarrow{e^{-x^{2}}}$ et $x\rightarrow{xe^{-x^{2}}}$ et je t'ecrirais demain
    Merci bien encore une autre fois pour les réponses
    Amicalement
    Moumni
  • Bonjour, Moumni\par L'exemple propos\'e vendredi marche presque, mais il faut simplement imposer
    $||f||=2$ au lieu de~$1$ pour avoir deux solutions. Donc, voici : les fonctions
    $f_0\,:\,x\to\text{e}^{-x^2}$ et $f_1\,:\,x\to x\text{e}^{-x^2}$ sont solutions de
    $E\,:\,y''=p(x)y'+q(x)y$, avec $p(x)=-4x$ et $q(x)=-4x^2-2$ (sauf erreur de calcul, d'ailleurs sans
    incidence sur la suite). On obtient $(p,\,q)$ en r\'esolvant, pour tout $x$, le syst\`eme
    $f''_0=pf'_0+qf_0,\,f''_1=pf'_1+qf_1$ dont le d\'eterminant est le wronskien, jamais nul, de
    $(f_0,\,f_1)$. Vu les th\'eor\`emes g\'en\'eraux sur les E.D. lin\'eaires r\'esolues en $y''$, la
    solution g\'en\'erale de $E$ est $\lambda f_0+\mu f_1$. Toutes ces solutions sont dans L$^2$, et les
    solutions v\'erifiant en outre $f(0)=1$ sont les $f_0+\mu f_1$. On a $||f_0||^2=\pi/2
  • Euh et a t'on le droit de dire 2 conditions indépendantes => unicité de la solution ???

    car dans le ca y''=-y et y(pi)=y(0)=0 il y a une infinité de solutions car on donne en fait 2 fois la même condition...
  • et qu'est ce que tu veux dire par conditions indépendantes????????
  • Exemple en prenant la même Equation et en prenant comme conditions y(Pi/2)=0 et y(0)=1 j'obtiens bien une et une seule solution

    car la solution générale s'ecrivant Acos(t)+Bsin(t), on a
    B=0 et A=1

    Alors que avec les Condtions initiales précédentes on avait
    -A=0 et A=0 donc deux fois la même conditions...

    tu vois ce que je veux dire?
  • Si toujours avec la mm ED on avait imposé
    y(0)=0 et y'(Pi/2)=0 je retombe sur les mêmes conditions!!!
  • oui je vois maintenant. et si je reviens au premier message que j'ai posté.
    Sous quelles conditions l'equation différentielle suivante admet une unique solyution analytiques sur $R$.
    $$(1-x^2)y^{''}-2xy^{'}+(\lambda-c^{2}x^{2})y=0$$
    ou c et $\lambda$ sont deux réel strictement positif.

    Remarque: Je ne sais pas pourquoi si je fais l'aperçu mon équation différentielle n'apparait pas. C'est bizarre non????????
    Au secours les modérateurs et toutes mes éxcuse pour le dérangements
    Amicalement
    Moumni
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