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recouvrir un carré

Jean-Louis4Jean-Louis4
dans Les-mathématiques
Bonjour,
J'ai trouvé dans la RMS le problème suivant, dont on demande une solution élémentaire:
On recouvre un carré par des triangles d'aire égale.Démontrer que le nombre des triangles est obligatoirement pair.(Toute la surface est recouverte, et les triangles ne se recouvrent pas ,une partition en quelque sorte).Je ne vois pas comment prendre cet exo...dont la solution doit être élémentaire.
Cordialement.
Jean-Louis.
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Réponses

  • bosio frederic0bosio frederic0
    Ce probleme est tres connu, appele "pepere et memere" (p pair et meme aire). Il y en a d'ailleurs des solutions sur ce forum. Toutefois, je n'en connais pas qui soient vraiment elementaires. Une preuve simple serait je pense la bienvenue.
  • Jean-Louis4Jean-Louis4
    Salut Frédéric,
    Oui je pense que dans la RMS ,quand ils disent "élémentaire" ils pensent à une solution courte et ne faisant pas appel à des raisonnements compliqués...(Mais certainement astucieux)
    Jean-Louis.
  • le_prince_noirle_prince_noir
    les triangles ont ils un format particulier?
  • Jean-Louis4Jean-Louis4
    Non, ils ont même aire mais ne sont pas égaux, ou d'un type particulier.
    Jean-Louis.
  • pablo0pablo0
    si on recouvre un carré par un nombre de sous carrés egaux n'importe combien on peut aussi par la suite diviser chaque sous carré en deux triangles egaux ... si on note k le nombre de sous carrés qui recouvrent le carré alors le nombre de triangles sera 2k donc pair... j'espere que c'est ça l'idée!!
  • ProbaloserProbaloser
    non
  • pablo0pablo0
    on prend par exemple un papier sous forme de carré et on le plie en quatre pour obtenir quatre carré à l'interieur et on repete la meme chose k fois( à la fin on a $\ 4^{k}$ sous-carré à l'interieur ...) à la k+1 ieme fois on le plie ce mini carré en deux pour obtenir à la fin un triangle..si on remet le papier à son 1 er etat et on compte le nombre de triangles qu'il y'a sur ,on trouve un nombre pair qui est $\ 2*4^{k}$ c'est à dire $\ 4^{k+\frac{1}{2}}$.
  • pablo0pablo0
    ou bien $\ 2^{2k+1}$ pour rendre visible la parité dans ce petit enigme
  • Jean-Louis4Jean-Louis4
    Mais tes triangles sont tous rectangles.Tu n'as pas démontré que c'est la seule possibilité.
    Jean-Louis.
  • ProbaloserProbaloser
    Pablo : tu ne fais que donner des exemples où le nombre de triangle est pair.
  • pablo0pablo0
    :))))))
  • pablo0pablo0
    il existe une infinité denombrable de cas possibles.. tu plies le nombre de fois que tu veux le triangle en deux triangles egaux aussi à partir de la k+1 ième fois selon le processus proposé au depart, on note ce nombre n par exemple et t'aurai une suite $\u_{n}$ avec $\n \in IN$
    avec $\ u_{n}= 2^{n}*2^{2k+1}$ c'est à dire $\ u_{n}= 2^{n+2k+1}$
    n le nombre de pliage en carré en 4 pour otenir des sous carrés egaux et k le nombre de pliage en 2 pour obtenir des sous triangles egaux ...
  • ProbaloserProbaloser
    A quelle question essaies-tu de répondre en fait Pablo ??
  • pablo0pablo0
    à celle de Jean-louis
  • pablo0pablo0
    oui pour lui confirmer l'existence d'une infinité denombrable de cas, tous autre cas possible sans recours à ce procedé signifie qu'il est fini ou infini denombrable donc la reunion est tjs infini denombrable...
  • ProbaloserProbaloser
    Question de Jean-Louis :
    - montrer que toute triangulation en triangles de même aire est constituée d'un nombre pair de triangles.

    Tes réponses :
    - il existe tout un tas de triangulations en triangles de même aire et constituées d'un nombre pair de triangles.

    Tu vois le souci ?
  • ProbaloserProbaloser
    <<
    oui pour lui confirmer l'existence d'une infinité denombrable de cas, tous autre cas possible sans recours à ce procedé signifie qu'il est fini ou infini denombrable donc la reunion est tjs infini denombrable...
    >>

    Qu'est-ce que ça signifie ???
  • pablo0pablo0
    <<k le nombre de pliage en 2 pour obtenir des sous triangles egaux ...>>
    donc c'est pair je ne vois pas d'autres idées, essaie de donner quelques idées toi Probaboloser
  • ProbaloserProbaloser
    Ce n'est pas parce que tu n'as pas de preuve que n'importe quel argument fumeux en devient un...

    Ce n'est pas non plus parce que je ne propose pas de preuve que je ne peux pas te dire que ce que tu proposes n'en est pas une... Je fais ça pour te rendre service...

    Par ailleurs le problème n'est pas si élémentaire que cela et une solution a déjà été donné ici (en tout cas au moins un lien sur une solution). Cela a déjà été précisé plus haut avec les mots clés adéquats...
  • pablo0pablo0
    Bref il existe une infinité de cas pour obtenir un nombre impair de triangles
    recouvrant le carré ... n'importe kel autre methode qu'on puisse donner ou forme de triangularisation sera facultatif (ça donne toujours le meme resultat :infinité denombrable de cas)
  • ProbaloserProbaloser
    Mais que viennent faire ces histoires d'infinis ici ?

    Je vais finir par croire que j'ai affaire à un troll...
  • pablo0pablo0
    la preuve je ne sais pas
  • pablo0pablo0
    Toi tu veux que je comprenne à ta manière Probaloser mais essaie de me comprendre moi .. J'ai donné un exemple qui couvre l'ensemble du problème ce n'est pas une preuve pratique ???
  • Serge21Serge21
    Bonjour,

    Jean louis a dit que les triangles doivent former "une partition en quelque sorte" du carré. C'est une image ou une définition mathématique ? Si tel est le cas, (je pose peut être une question idiote mais) c'est quoi la définition d'un triangle ?

    Merci.
  • pablo0pablo0
    trois points dans l'espace non alignés
  • Jean-Louis4Jean-Louis4
    Il n'y a pas de piège, c'est un triangle tel qu'on en parle en géométrie très élémentaire.
    Jean-Louis.
  • Serge21Serge21
    Ok,
    donc ce n'est pas une partition.
    Nous sommes d'accord ?
  • Jean-Louis4Jean-Louis4
    Je ne vois pas ce qui te gêne dans le mot partition. Effectivement, ils ont des côtés communs donc une intersection non vide. Triangulation est mieux adapté.
    Jean-Louis.
  • pablo0pablo0
    Probaloser !!!
  • ProbaloserProbaloser
    <<
    Toi tu veux que je comprenne à ta manière Probaloser mais essaie de me comprendre moi ..
    >>

    Je veux simplement faire des maths.

    <<
    J'ai donné un exemple qui couvre l'ensemble du problème
    >>

    Que veux-tu dire ?
  • Serge21Serge21
    Ok jean louis.
  • pablo0pablo0
    Ouais mais pose ta réponse là pour la discuter et dis nous ce qui ne va pas dans la méthode qu'on a proposé nous !!
  • ProbaloserProbaloser
    <<
    Question de Jean-Louis :
    - montrer que toute triangulation en triangles de même aire est constituée d'un nombre pair de triangles.

    Tes réponses :
    - il existe tout un tas de triangulations en triangles de même aire et constituées d'un nombre pair de triangles.
    >>

    Tu ne vois pas le problème ?
  • pablo0pablo0
    prend un triangle pas n'importe kel triangle un triangle rectangle tu le plie en deux ça donne 2 triangles de meme taille tu le plies en deux ça donne en somme 2*2 et ainsi de suite en fonction du nombre de pliage si on plie k fois on obtient $\ 2^{k}$ triangles donc pair pas vrai ça !!!
  • ProbaloserProbaloser
    Oui et alors !!??

    <<
    Question de Jean-Louis :
    - montrer que toute triangulation en triangles de même aire est constituée d'un nombre pair de triangles.

    Tes réponses :
    - il existe tout un tas de triangulations en triangles de même aire et constituées d'un nombre pair de triangles.
    >>

    Tu ne vois pas le problème ?

    [Je me suis permis de mettre en gras les termes du problème :) AD]
  • pablo0pablo0
    Laisse tomber tout ça et dis nous comment procéder n'est-ce pas Jean-Louis ??? :))))
  • Serge21Serge21
    Pablo,

    tu peux imaginer des triangulations du carré dont les triangles ne forment pas deux par deux des rectangles. Non ?

    Il faut aussi traiter ces (très nombreux) cas.
  • ProbaloserProbaloser
    Bon j'avais affaire à un demeuré ou à un troll apparement.
    a+
    PL
  • Jean-Louis4Jean-Louis4
    Je n'ai pas encore trouvé, et ça m'intrigue. C'est pour ça que je le soumets à votre sagacité.
    Jean-Louis.
  • pablo0pablo0
    mdrrrrrr bon moi je vois pas d'autres d'explications :)
  • pablo0pablo0
    Serge ce n'est pas ça l'objet de l'énigme
  • guiguicheguiguiche
    Existerait-il des triangulations avec des triangles non rectangles ?
  • Serge21Serge21
    Jean louis,
    tu as essayé d'infirmer la possibilité de triangulation du carré lorsque n=3 n=5 etc..?
  • GG7GG7
    bonjour,
    pour chaque "segment élémentaire" d'une triangulation, un des trois cas suivants se produit :
    - c'est un côté de deux triangles
    - c'est un côté d'un triangle et il fait partie du périmètre d'un autre
    - c'est un côté d'un triangle et il fait partie du périmètre du carré

    les n surfaces égales s'expriment par la formule de héron : sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) (p demi-périmètre)

    piste ou impasse ?
  • Serge21Serge21
    Il existe des triangulations qui contiennent des triangles non rectangles.
    Exemple: On coupe en deux un carré par sa diagonale, puis on trace la médiane des deux triangles obtenus.
  • Jean-Louis4Jean-Louis4
    Pour n=3, ça revient à trouver la position d'un point dans le carré.On voit vite pourquoi c'est pas possible.Mais ,ensuite ça se corse...
    Jean-Louis.
  • Jean-Louis4Jean-Louis4
    Bon , disons que le nombre de triangles est n.Le nombre de côtés est 3n .Donc on a 3n - 4 côtés qui doivent être communs à 2 triangles.Donc n doit être pair.
    Ca va??
    Jean-Louis.
  • Jean-Louis4Jean-Louis4
    Non, c'est idiot.
    Jean-Louis.
  • Serge21Serge21
    l'hypothèse memere paraît fondamentale.
  • GG7GG7
    c'est le moins qu'on puisse dire :)
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