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Loto

Hier, les 2 tirages du loto ont "sorti" le même numéro complémentaire (30).
Quelle est la probabilité qu'un tel événement se produise ?
(même numéro complémentaire, soit 7è n° tiré sur 49 disponibles à l'origine, sur deux expériences consécutives)

Réponses

  • On trouve $1/49$. La position n'influe pas, ni le fait que ce soit la même des deux côtés (je trouve ça plus intuitif quand je modélise cela par le tirage de permutations aléatoires uniformes dont on ne garde que les "$7$ premières images").
  • ->Probaloser,
    <BR>
    <BR>je trouve p=1/7...
    <BR>
    <BR>
    <BR><B>Univers U:</B>

    <BR>j'ai posé (a1,a2,...,a7 , b1,....,b6,b7) un évenement élémentaire de l'univers qui est l'ens. des 14-uplets ordonnés tq ai<>aj si i<>j et 1<ai<49, et idem pour les bi.
    <BR>
    <BR><B>L'événement E:</B>

    <BR>j'ai posé b7 = a7. on obtient (a1,a2,...,a7 , b1,....,b6,a7) un évenement de l'ens. E qui nous interresse ( ..: 2 tirages successifs avec le même n° complémentaire...).
    <BR>
    <BR><B>Dénombrement:</B>

    <BR>card(U)=<SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="110" HEIGHT="36" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/03/10/82231/cv/img1.png&quot; ALT="$ (A^7_4_9)^2=(\frac{49!}{7!})^2$"></SPAN>

    <BR>card(E)=<SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="166" HEIGHT="36" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/03/10/82231/cv/img2.png&quot; ALT="$ (A^7_4_9)(A^6_4_8)=(\frac{49!}{7!})(\frac{48!}{6!})$"></SPAN>
    <BR>
    <BR>d'où p.<BR>
  • La question de départ étant mal posée, il va y avoir des réponses différentes. Il est assez évident que "la probabilité qu'un tel événement se produise" est 1, puisque cet événement a une probabilité de réalisation lors d'un double tirage non nulle.
    Ensuite, il y a "la probabilité qu'un tel événement se produise samedi prochain", autrement dit " la probabilité que le 7-ième numéro tiré au deuxième tirage soit le même que le 7-ième du premier tirage". La réponse de Bmouss, que j'ai lue rapidement me semble être correcte.
    Enfin il y a "la probabilité, après le premier tirage (connaissant les résultats du premier tirage), que le 7-ième numéro tiré au deuxième tirage soit le même que le 7-ième du premier tirage". La réponse de Probaloser me semble correcte pour cette question.

    L'interprétation la plus classique de la question est certainement la deuxième. Probaloser, ne te serais-tu pas laisser pièger par le paradoxe des anniversaires ?

    Cordialement
  • GERARD : je n'ai pas suffisament bien compris tes deux dernières hypothèses pour saisir la différence entre les deux.

    Voilà comment j'ai compris la question : on fait deux tirages successifs, on cherche la probabilité que les septièmes numéros des deux tirages soient identiques.

    BMous : il y a un problème avec les valeurs de ts $A_n^ĸ$...
  • BMouss, tes formules de calculs des arrangements me paraissent fausses. On divise respectivement par (49-7)! et par (48-6)! et non par 7! et 6!
    On retrouve alors la probabilité 1/49 poposée par Probaloser.

    Cordialement
  • Probaloser :
    Je peux me tromper, mais il y a une différence à priori entre "c'est le même numéro que" et "les deux numéros sont les mêmes".
    Par contre, j'ai sauté un peu vite les calculs de Bmouss, et on trouve peut-être le même résultat (Ton affirmation du début m'avait paru saine).

    Cordialement
  • Aii!!

    Pour une fois que je pensais pouvoir répondre !!
    Milles excuses pour cette perte de temps.
    Et merci de vos réponses.
  • Oui effectivement, il y a a priori une différence.
  • Bonsoir,
    Plutôt que de critiquer la formulation de la question, qui me semble parfaitement limpide, j'aurais aimé avoir une réponse claire et précise.
    D. Fournier
  • dfrn,
    Ta question est loin d'être parfaitement limpide.
    Relis attentivement ce qu'a écrit GERARD : il précise qu'il y a plusieurs interprétations de ta question et il a raison de dire qu'elle est donc mal posée car il veut justement t'apporter une "réponse claire et précise".
    Il est donc stupide de t'énerver vaniteusement et de prendre les gens qui te répondent pour tes laquais.
  • dfrn,

    1/49 me paraît une réponse convenable à l'interprétation: "quelle est la probabilité que, lors des deux prochains tirages, les numéros complémentaires soient les mêmes".
  • dfm : ce n'est pas parce que tu trouves ta question précise qu'elle l'est. Par ailleurs tu as eu ta réponse, je t'ai donné une piste pour le démontrer, et si cette piste ne te plaisait pas, tu as eu une démonstration complète par BMouss...

    Que veux-tu de plus ?
  • Ce qu'il veut de plus ? Le gros lot, pardi !
  • Chers Amis,
    Loin de moi l'idée de rechercher des "laquais", je suis parfaitement calme et voulais simplement faire observer que, si ma formulation était ambigüe, je veux bien le reconnaitre, c'est sans doute du à mon ignorance du monde des probabilités, je suis venu ici chercher de l'aide, ma naïveté me perdra !
    Ayant réfléchi plus avant au problème, il me semble qu'il s'agirait de quantifier la probabilité de tirage en 7ème position (n° complémentaire) d'un numéro fixé à l'avance (lors du premier tirage). Cette formulation est-elle correcte ?
    Je n'aurai pas l'outrecuidance d'en avoir la certitude, mais elle me paraît être ce qui correspond le mieux à ce que je cherche.
    Dans ce cas la probabilité de 1/49 me parait fort exagérée, puisqu'elle représente la probabilité de tirage d'un numéro quel qu'en soit le rang, alors que là, on veut qu'il sorte à une position bien précise, après le tirage de n numéros pour lesquels il n'y a pas d'exigence particulière, hormis qu'ils soient différents de celui que l'on veut voir sortir ensuite, puisque pour un tirage, un numéro ne peut être tiré qu'une seule fois.
    Merci par avance de votre aide sur le sujet, pardonnez mon inculture mathématique et croyez en mon profond respect pour les esprits scientifiques.
    Daniel Fournier
  • Salut,
    en probabilité il est particuliérement dangereux de se fier à son intuition.
    Si on tire les 49 numéros au hasard et sans remise, la proba pour qu'un numéro donné (par exemple le 30) se trouve à une place donnée (par exemple la 7°) est toujours 1/49.
  • Merci pour ces réponses.
    Désolé de vous avoir ennuyé avec ce problème.
    Bonne nuit
  • D'après les statistiques du Loto, sur 4321 tirages le numéro 45 est sorti 665 fois , le numéro 17, 571 fois. J'ai pris les deux extrèmes.

    Comment savoir si un tel écart est acceptable ?

    merci
  • Si on a les fréquences d'apparitions de tous les numéros, on peut toujours faire un test du khi-deux d'adéquation à la loi uniforme discrète.
  • Merci Kuja.
    Je vais essayer avec Excell.
    La fréquence attendue pour chaque numéro sur 4321 tirages est bien de 529 ?
  • Je suis loin d'être expert en probas mais si la fréquence attendue pour chaque numéro est de 529, il est curieux que la fréquence minimale observée soit de 571 (tu as dit avoir pris les deux extrêmes), non ?
  • Pour Jules et Sylvain,
    J'ai déja fait le test du Chi-deux sur les tirages du loto, en 1995. 0 l'époque, les résultats étaient corrects, le test (risque 0.05) avait réussi (ce qui ne prouve rien, tout au plus que rien ne permet de mettre en doute l'équiprobabilité des tirages).
    Par contre, il ne faut pas confondre équiprobabilité et équirépartition. Un exemple très simple est le lancer d'une pièce 4 fois. Par equiprobabilité, on s'attend en moyenne à 2 Pile, mais le nombre réel de Pile sur 4 lancers peut être aussi bien 0 ou 4 (une chance sur 16 que cela se produise pour chacun, donc une chance sur 8 que l'écart soit le maximum possible).
    Pour des tirages sur des valeurs multiples, il n'est pas anormal que certaines valeurs s'écartent de la moyenne. Plus exactement, la probabilité qu'un numéro donné, le 17 par exemple s'éloigne fortement de la moyenne est faible, mais la probabilité qu'il y ait un numéro (non précisé à l'avance) qui s'éloigne fortement de la moyenne est, elle, beaucoup plus grande (C'est le paradoxe des anniversaires).

    Pour Probaloser :
    Je suis désolé d'avoir mis en doute ton raisonnement, j'ai trop l'habitude de me méfier des probas conditionnelles. Or ici, je n'avais pas vu que " la probabilité que le 7-ième numéro tiré au deuxième tirage soit le même que le 7-ième du premier tirage" utilise comme événement conditionnant ("résultat du premier tirage") un événement de probabilité 1.

    Cordialement à tous
  • Tu as raison Gérard. J'ai calculé sur un tirage de 6 numéros. Les statistiques fournies par la FJ doivent tenir compte du numéro complémentaire. En ce cas la fréquence attendue devrait, sur 4321 tirages être de 617. non?
  • Je viens de regarder <http://www.fdjeux.com/jeux/loto/loto_s_palmares.php&gt;
    Les numéros les plus tirés aujourd'hui sont le 16 et le 34 avec 657 tirages, et le moins tiré est 17 avec 571 tirages.
    On ne sait pas si sont comptés les 6 numéros ou les 7, mais cela n'a pas d'influence sur le test : Il suffit de comptabiliser le total des sorties et de diviser par 49, car ce qu'on teste, c'est l'équiprobabilité.

    Cordialement.
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