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Probabilités

Bonjour,

Tout d'abord, je tiens à vous remercier pour votre travail ainsi que
le s\'erieux de vos r\'eponses.

Je viens quelquefois chercher des informations pour mon travail. Cette
fois je me permets de vous soumettre un point sur lequel je coince.\\
Je cherche à montrer à partir de Z=X/Y que :\\

(1)$\{E(Z)=\frac{E(X)}{E(Y)}(1+\frac{Var(Y)}{E^{2}(Y)})}$;\\


(2)$\{Var(Z)=\left[\frac{E(X)}{E(Y)}\right]^{2}\left[\frac{Var(X)}{E^{2}(X)}+\frac{Var(Y)}{E^{2}(Y)}\right]}$.\\
Voici mon travail pour le point 1.\\


- $\{E(\frac{X}{Y})=E(X).E(\frac{1}{Y})}$\\
- $\{E(\frac{1}{Y})=E(\frac{1}{E(Y)+(y-E(X))})=E(\frac{1}{E(Y)}.\frac{1}{1+\frac{Y-E(Y)}{E(Y)}})}$\\


Je pose $\varepsilon=\frac{Y-E(Y)}{E(Y)}$et j'\'ecris $\frac{1}{1+\frac{Y-E(Y)}{E(Y)}}=\frac{1}{1+\varepsilon}$
\'a l'ordre 2 , $\frac{1}{1+\varepsilon}=1-\varepsilon+\varepsilon^{2}+\varepsilon^{2}o(1)$.\\


Cela donne $E(\frac{1}{Y})=E(\frac{1}{E(Y)}.[1-\frac{Y-E(Y)}{E(Y)}+(\frac{Y-E(Y)}{E(Y)})^{2}])=\frac{1}{E(Y)}.(1-0+E((\frac{Y-E(Y)}{E(Y)})^{2})$,\\


avec $E((\frac{Y-E(Y)}{E(Y)})^{2})=\frac{Var(Y)}{E^{2}(Y)}$. \\


Donc $E(\frac{1}{Y})=\frac{1}{E(Y)}(1+\frac{Var(Y)}{E^{2}(Y)})$,
et $E(\frac{X}{Y})=\frac{E(X)}{E(Y)}(1+\frac{Var(Y)}{E^{2}(Y)})$.
Voil\'a pour le point 1.\\

Pour le point 2 je reste coinc\'e.

Pouvez-vous m'aiguiller pour le point 2 ? En vous remerciant.

Réponses

  • Ton $\epsilon$ n'a aucune raison d'être petit si ? Tu as en fait tout fait pour qu'il soit "d'ordre $1$".
  • A la première ligne du raisonnement $E(\frac{X}{Y})=E(X)E(\frac{1}{Y})$, ne manque-t-il pas un argument d'indépendance de $X$ et $Y$ ?
  • Bonjour,

    oui, initialement E(Z) différent de E(X)/E(Y). Partant de là, je cherche à montrer les points (1) et (2).

    Salutations.
  • Hum... tu n'as répondu à aucune des deux questions !!
  • Bonjour

    Considérons que X suit une loi gamma(4) et Y une loi gamma(3). On a E(X) = V(X) =4 et E(Y) = V(Y) = 3. Si X et Y sont indépendantes, Z = X/Y suit alors une loi béta de deuxième espèce de paramètre (4,3) dont l'espérance est 2 et la variance 6. Si la formule que vous donnez pour l'espérance de X/Y était juste, vous auriez 2 = 4/3*(1-1/3) !
    Je ne connais pas de formule donnant exactement E(X/Y). Si vous en avez une celà m'intéresse vivement.

    Bonne journée.
  • Bonjour,

    Pour l'instant je reste sur les va de la loi normale. Les relations (1) et (2) apparaissent dans diverses publications, mais sont référencées dans "Kotz, S., and Johnson, N.L. (eds.) (1982), Encyclopedia of Statistical Sciences, New York : Wiley".
    Pour l'instant je n'ai pas mis la main sur ce livre, donc j'essaye de trouver un chemin qui m'amène vers les solutions (1) et (2) par des travers loin d'être rigoureux ....... Il est vrai que le cas E(X/Y) ne semble pas souvent abordé dans les cours.

    Meilleures salutations.
  • Bonsoir,

    J'ai déjà vu ces formules (dans le Kendall's Advanced Theory of Statistics mais je l'ai au boulot donc il faudra attendre demain).
    Mais dans mes souvenirs ce sont des formules asymptotiques, uniquement valable si la variance des va considérées sont des $O(n^{-r})$ il me semble.
    Je les ai vues utilisées en pratique pour déterminer le biais et la variance d'estimateurs à noyaux, qui font intervenir des ratios de va.
  • Kuja: vous lisez des bouquins de Maths pendant les heures de travail? C'est des coups à se faire virer.
  • Bonsoir Richard,

    Il ne vaudrait mieux pas qu'ils me virent étant donné qu'ils me paient pour ça !
  • Bonjour,

    Je viens de vérifier dans le Kendall's et je confirme donc ce que j'ai dit hier soir, ces égalités sont des développements asymptotiques de fonctions de va dont les variances et les covariances (ici elles n'interviennent pas puisque les va sont indépendantes) sont des $O(n^{-r})$, typiquement $r=1$. Si ce n'est pas le cas (comme l'a montré Llolo dans son message), il n'y a aucune raison pour que le résultat soit juste.
  • Bonjour,

    Merci pour votre réponse, je vais chercher le Kendall's pour y voir un peu plus clair...

    Pour mon étude, l'utilisation de (1) et (2) présente, en posant certaines hypothèses, de se simplifier plus loin dans le calcul (application pratique), mais je n'aime pas utiliser des relations sans les retrouver.
    Par contre j'ai pu mettre la main sur un des co-auteurs d'un article utilisant ces relations. Je vais le contacter pour voir sa démarche ainsi que le choix de ces hypothèses.
    Si j'ai quelque chose, je mets cela à la suite de mon message.

    Merci pour vos investigations.
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