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suite récurrente

bonjour,
Je dois déterminer Un en fonction de U1 et de U0 (je n'ai pas leur valeur, mais ce sont des données):
U(n+2) = 2*U(n+1)*cos(µ) - U(n)
je ne vois pas comment faire... Pourriez-vous m'aider? D'avance merci.

Réponses

  • Ecris l'équation caractéristique correspondante et trouves-en les racines puis donne l'expression de $u_n$ en fonctino de 2 constantes à déterminer en fonction de $u_0$ et $u_1$.
  • Relation de récurrence linéaire :=> équation caractéristique
  • Bonsoir,

    Il s'agit d'une suite récurrente d'ordre $2$. Il est bon de connaître une méthode de résolution générale d'une telle suite. En voici une :

    On donne $u_{0}$ et $u_{1}$. $a$ et $b$ sont des réels fixés.
    On définit alors la suite $(u_{n})_{n\in\N}$ par la relation de récurrence d'ordre $2$:
    $u_{n+2}+au_{n+1}+bu_{n}=0$.
    On note $(E)$ cette dernière égalité.
    Il est facile de voir que l'ensemble des solutions de $(E)$ est un $\R-$espace-vectoriel. Sa dimension est égale à $2$ : en effet, l'application qui à une suite $u:=(u_{n})_{n\in\N}$ associe $f(u):=(u_{0},u_{1})$ réalise un isomorphisme de $E$ sur $\R^{2}$.
    Ce qui précède justifie la méthode suivante :

    On cherche des solutions particulières de $(E)$ sous la forme $u_{n}=r^{n}$, où $r$ est un réel à déterminer.
    On s'aperçoit que cela revient à chercher $r$ solution de l'équation dite caractéristique :
    $r^{2}+ar+b=0$.
    Deux cas sont possibles :
    i) Cette équation possède deux solutions distinctes $r_{1}$ et $r_{2}$. Alors les suites $u_{n}:=r_{1}^{n}$ et $v_{n}:=r_{2}^{n}$ sont des solutions linéairement indépendantes de $(E)$, et donc l'ensemble des solutions de $(E)$ est l'ensemble des $Au_{n}+Bv_{n}=Ar_{1}^{n}+Br_{2}^{n}$, où $A$ et $B$ sont des réels.
    ii) Il n'y a qu'une seule solution : $r$. Les suites $u_{n}=r^{n}$ et $v_{n}=n.r^{n}$ sont alors des solutions linéairement indépendantes de $(E)$ (le vérifier !), et donc l'ensemble des solutions de $(E)$ est l'ensemble des $Au_{n}+Bv_{n}=(A+n.B)r^{n}$, où $A$ et $B$ sont des réels.

    Si on rajoute des conditions initiales (du type $u_{0}=x$ et $v_{0}=y$, alors on obtient, dans les deux cas, une unique solution : pour cela, on détermine $A$ $B$ en remplaçant successivement $n$ par $0$ et par $1$ : $A$ et $B$ sont alors les solutions d'un système linéaire à deux équations et deux inconnues.

    En espérant avoir été clair.

    Amicalement.
    Olivier.
  • merci pour vos réponses
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