Intégrale avec sinus — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Intégrale avec sinus

Modifié (November 2021) dans Analyse
Bonjour

Montrer que

$$\int_{0}^{+\infty} ( 1 - x^2\sin^2 (\frac{1}{x}) )^2 dx = \frac{\pi}{5}$$

Merci

Réponses

  • C'est une pure coïncidence !

    En posant $x=\dfrac1t$ et en développant le carré on obtient que l'intégrale est égale à $2K_2-K_4$ où $K_n$ est l'intégrale définie ici (à la fin du message).
  • On peut généraliser à $n$ et $m$ entiers naturels non nuls :
    $$\int_{0}^{+\infty} \left( 1 - x^n\sin^n \left(\frac{1}{x}\right)\right )^m dx = \sum_{k=1}^m (-1)^{k-1}{m\choose k}K_{nk}\in\pi\Q$$
  • Juste pour voir si on reçoit mon post.

Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!