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Minimum d'une fonction

Bonjour,

Un exercice que je trouve costaud pour des terminales.

Soit $\lambda >0$.

a) $| \displaystyle\int_{a}^b ( \lambda f(t) ) (\dfrac{1}{\lambda} g(t) ) dt | \leq \displaystyle\int_{a}^b | ( \lambda f(t) | \times | (\dfrac{1}{\lambda} g(t) | dt$

D'après l'inégalité de Young, on a $\forall t \in [a,b] \ | ( \lambda f(t) | \times | (\dfrac{1}{\lambda} g(t) | \leq \dfrac{1}{p} \lambda ^p |f(t)|^p +\dfrac{1}{q} \dfrac{1}{\lambda ^q} |g(t)|^q$

D'où $\boxed{| \displaystyle\int_{a}^b ( \lambda f(t) ) (\dfrac{1}{\lambda} g(t) ) dt | \leq \dfrac{1}{p} \lambda ^p \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt + \dfrac{1}{q} \dfrac{1}{\lambda ^q} \displaystyle\int_{a}^b ( |g(t)|^q} dt$

b) Cette question me semble difficile.

On a $\psi '(\lambda)= \lambda^{p-1} \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt - \lambda^{-q-1} \displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt $

$\psi '(\lambda) \geq 0 \Leftrightarrow \lambda^{p-1} \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt \geq \lambda^{-q-1} \displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt \\
\Leftrightarrow \lambda^{p+q} \geq \dfrac{\displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt}{ \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt} \\
\Leftrightarrow \lambda \geq \left( \dfrac{\displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt}{ \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt} \right)^{1 / (p+q)}$

Posons $\lambda_{min} = \left( \dfrac{\displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt}{ \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt} \right)^{1 / (p+q)}$

Calculons $\psi(\lambda_{\min} )=$

Ca m'a l'air trop compliqué :-(128628

Réponses

  • Hello ! Est-ce que tu connais le théorème de maths qui dit

    "Si j'ai une expression de la forme $(\int_a^b |f(t)|^pdt)^{1/p}$ il est possible de poser A cette expression afin de pas s'emmerder avec dans les calculs" :-S
  • N'oublie pas que 1/p + 1/q = 1.

    Tu dois trouver très exactement le résultat de l'énoncé si tu t'y prends bien.
  • Oshine a écrit:
    Un exercice que je trouve costaud pour des terminales.
    Pour des terminales ? En effet...
  • Pour des terminales qui se destinent à une prépa qu'ils comptent majorer pas forcément.
    Le pdf a bien pire. Ici les indications disent quoi faire et il suffit de bien mener les calculs sans trop d'idée supplémentaire. On est moins sujet à cafouillage que sur une IPP par exemple, ou un calcul de somme.
  • Ok merci.

    On a $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=\dfrac{p+q}{pq}=1$

    $\lambda_{\min}= \dfrac{B^{1/(pq)}}{A^{1/(pq)}} $ où $A=\int_{a}^b f^p$ et $B=\int_{a}^b g^q$

    Donc $m=\psi(\lambda_{\min}) = \dfrac{1}{p} \dfrac{B^{1/q}}{A^{1/q}} A + \dfrac{1}{q} \dfrac{A^{1/p}}{B^{1/p}} B$

    D'où $m= \dfrac{1}{p} B^{1/q} A^{1/p} + \dfrac{1}{q} A^{1/p} B^{1/q}$

    Finalement $\boxed{m=\left( \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt \right) ^{1/p} \left( \displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt \right)^{1/q} }$

    La question a) fournit :

    $| \displaystyle\int_{a}^b f(t) g(t) dt| \leq \psi(\lambda)$ pour tout $\lambda >0$

    Cette inégalité est valable aussi lorsque $\psi(\lambda)$ est minimum, ce qui fournit l'inégalité souhaitée.
  • Peux-tu justifier le passage de la division par $A$ ? Je ne permettrais pas à un élève de Terminale de ne pas justifier cette étape.
  • J'y ai pensé à cette division par zéro.

    Si $f$ ou $g$ est nulle l'inégalité est vérifiée.

    Sinon, $f$ et $g$ sont non nulles donc $|f|>0$ et donc $|f|^p >0$ et l'intégrale d'une fonction strictement positive et continue est un réel strictement positif donc non nul.
  • (td)

    Si $f$ est non nulle alors $|f| > 0$ ? À chaque ligne d'OShine sa perle.
  • Par moment on finir par ne plus les voir!
  • Oui imprécision ! Ca marche pour les nombres mais pas pour les fonctions.

    Si $f$ est non nulle alors $|f|$ est non nulle, or $|f|$ est positive et continue donc ...
  • Oui, j'ai lu rapidement.
    Sinon, tu peux rajouter le symbole $\int$ devant $|f|$ dans ta phrase précédente, puisqu'en effet $f$ est continue.
    Si $f$ est non nulle sur l'intervalle $I$, alors $\int_I |f| >0$.
    (Ici on a bien $a<b$).
  • Mais ce n'est pas impardonnable en Terminale :-). Du coup, tu peux continuer à traiter des exercices de ce type (ou le DS proposé par Rescassol) plutôt que de t'attaquer aux X/ENS. Tu seras plus crédible à mon avis.
  • Non mais X-ENS c'est trop dur pour moi. Déjà Centrale Mines c'est très élevé pour moi. A Mines je n'arrive que les 4-5 premières questions après c'est vite du chinois.
  • Bonsoir,
    Shannon a écrit:
    (ou le DS proposé par Rescassol)
    J'ai proposé un DM, pas un DS. Ça ne me paraît pas faisable dans le temps d'un DS par un élève de TS, même dans une TS d'il y a un certain temps.

    Cordialement,

    Rescassol
  • D'accord merci, je calcule en combien de temps je le fais.
  • Rescassol a écrit:
    Ça ne me paraît pas faisable dans le temps d'un DS par un élève de TS, même dans une TS d'il y a un certain temps.
    Certes, certes.
  • Je ne pense pas qu'un élève de TS actuel (sauf exception) arrive à calculer la dérivée de la première question de la partie B sans faire d'erreurs.
  • Bonjour,

    Faut pas pousser, $ln(u)$ et $\dfrac{u}{v}$, ça ne va pas très loin.

    Cordialement,

    Rescassol
  • @OS si ils peuvent car c'est une fonction basique. Tes intégrales ne dépendent pas de $\lambda$. Peut-être que la difficulté sera de poser $A=$ première intégrale et $B=$ deuxième intégrale. Tiens je vais leur donner à dériver: $x\longmapsto A\dfrac{x^{p}}{p}+B\dfrac{x^{-q}}{q}$ demain.
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