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Tribu engendrée par E

Voici un problème que je n'arrive pas à résoudre.

Soit $\Omega$ un ensemble et $\mathcal{E}$ un ensemble de parties de $\Omega$. Soit $\mathcal{T}$ défini par:
$\mathcal{T}$=$\bigcup$ {$ \sigma$($\mathcal{F}$), $\mathcal{F}$ $\subset$ $\mathcal{E}$ où $\mathcal{F}$ est au plus dénombrable }

Montrer que $\sigma$($\mathcal{E}$)=$\mathcal{T}$

Je montre facilement que $\mathcal{T}$$\subset$$\sigma$($\mathcal{E}$).
Pour l'inclusion inverse mon idée est de démontrer que $\mathcal{T}$ est une tribu. C'est là que je bloque.

Réponses

  • Le plus "difficile" est de montrer que si $(A_n)_{\N}$ est une suite d'éléments de $\mathcal{T}$ alors $\bigcup_{n\in \N} A_n\in \mathcal{T}$.

    Pour tout $n\in N$ il existe $\mathcal{F}_n\subset \mathcal{E}$ au plus dénombrable tel que $A_n\in \sigma(\mathcal{F}_n)$.

    Il suffit de considérer $\sigma \left(\bigcup_{n\in \N}\mathcal{F}_n\right)$...
  • En effet, en fait je me suis posé un faux problème. Par exemple, si A, B sont des éléments de $\mathcal{T}$, il existe $\mathcal{F}_1$ et $\mathcal{F}_2$ dénombrables tels que $A\in$ $\sigma$($\mathcal{F}_1$) et $B\in$$\sigma$ ($\mathcal{F}_2$).
    Il ne me semblait pas évident que $\sigma$($\mathcal{F}_1$)$\cup$ $\sigma$($\mathcal{F}_2$)$\subset$$\sigma$($\mathcal{F}_1$$\cup$$\mathcal{F}_2$).
    Après réexamen, oui en fait...
    Merci pour le coup de pouce.
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