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Dénombrement matrices diagonalisables

Bonjour
J’étudie un exercice qui consiste à dénombrer les matrices diagonalisables dans les corps finis.
À un moment il y a un argument que j’ai du mal à comprendre.

On pose E un Fq espace vectoriel tel que E soit somme directe des q sous-espaces propres d’une matrice M inversible à coefficients dans Fq. Et on dit que E=ME=sum(MEk), je ne comprends pas d’où vient cette égalité …
Ensuite comme dim(MEk)=dim(Ek) on conclut que E est aussi somme directe des MEk

Si quelqu’un peut m’éclairer …
Merci.
Bonne journée.

Réponses

  • C'est quoi ME, Ek et MEk ?
  • Justement,, pour moi c’est bizarre car on a une matrice multipliée par un Espace propre, c’est pour ça que je ne comprends pas …
  • ME c'est l'image de E par la multiplication par M, Ek l'espace propre assoicié à l'élément k du corps et MEk l'image de Ek dans le produit par M.

    Enfin c'est ce qu'il me semble.
  • Et donc il n’y a rien a faire pour justifier l’égalité ?
  • Il y a une finesse : on part d'une somme directe mais après application de M on n'a a priori qu'une somme tout court.

    La justification de l'égalité est facile mais il faut la donner -- double inclusion par exemple ? Cela devrait mettre en évidence la finesse ci-dessus.
  • J’ai bien repéré cette « finesse » mais justement c’est c’est égalité qui me perturbe. J’ai bien sûr essayé de la démontrer mais, même pas double inclusion, je n’y arrive pas
  • Le fait que E soit la somme des espaces propres provient de la diagonalisabilté.
  • oui ça je suis d'accord, mais pourquoi E= ME (l'image de E par la multiplication par M)= \sum MEk ?

    l'argument doit être bête mais je ne vois vraiment pas
  • Pouvez-vous me dire si cet argument est correct s'il vous plait :

    On a E= somme directe des E_k pour k allant de 1 à q

    Soit $x \in ME$, alors (comme E somme directe) $x$ s'écrit uniquement $x =M\sum_{k=1}^{q} x_k$ où $x_k \in E_k$ pour tout k. Alors $x=\sum_{k=1}^{q} Mx_k$ donc $x \in \sum_{k=1}^{q} ME_k$.
    Réciproqument, soit $y \in \sum_{k=1}^{q} ME_k$. Supposons que $y=\sum_{k=1}^{q} Mx_k=\sum_{k=1}^{q} Mz_k$, avec $x_k, z_k \in E_k$. Alors,$ y=M\sum_{k=1}^{q} x_k=M\sum_{k=1}^{q} z_k \implies \sum_{k=1}^{q} x_k =\sum_{k=1}^{q} z_k \implies x-k=z_k$ pour tout $k$ car les E_k sont en somme directe. donc $y \in ME$

    Finalement, $ME= \sum_{k=1}^{q} ME_k.$




    merci
  • Le fait que E = ME est dû à l'inversibilité de M. Le fait que M(somme des Ek) = somme des MEk est dû à la linéarité de M.
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