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Quantificateurs et nilpotence

Modifié (November 2021) dans Algèbre
Bonjour,
soit $R$ un anneau commutatif.
Je n'arrive pas à faire la différence entre ces 3 assertions au niveau de quantificateurs et le sens ?
1) On fixe $x$ et $y$ deux éléments nilpotents. Montrer que $x+y$ est nilpotent
2) $\forall x,y \in Nil(R)$. Montrer que $x+y$ est nilpotent.
3) Soient $x,y \in Nil(R)$. Montrer que $x+y$ est nilpotent.
Merci.

Réponses

  • 1) et 3) : pareil
    2) : c'est mal écrit.
    Veux-tu dire
    Montrer que $\forall (x,y)\in Nil(R)^2, x+y\in Nil(R)$ ?
    Si oui, c'est la même chose que 1) et 3).
  • Bonjour,

    En gros c’est pareil.

    Dans le 1), on suppose que deux éléments existent alors que dans 2) et 3) on ne le suppose pas. L’ensemble des nilpotents peut être vide.

    Mais je laisse les pros de la logique te répondre proprement.
  • Après la correction de JLapin pour le « 2) », je trouve que la démonstration de « 2) » commence (en général) par « 3) ».

    Comme dit plus haut. « 1) » et « 3) » c’est pareil.
    J’avais souvent des « on fixe » en DEUG-1ere année (L1 aujourd’hui) puis, question de mode j’imagine, je n’en ai plus jamais entendu parler avec la préférence « soient … ».
  • autrement dit, la question devrait être (si elle était correcte): Montrer que $\forall (x,y)^2 \in Nilp(R)^2, x+y \in Nilp(R)$
    et la réponse débuterait par: soient $x,y \in Nilp(R)$.......
  • Oui. Mais avec le 1) on fait un travail de rédaction à ta place.
    Tu peux travailler avec $x$ et $y$, puisqu’ils ont été introduits et fixés.
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