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Connexité d'une variété irréductible

Bonjour,

Soit $K$ un corps topologique séparé connexe et algébriquement clos.
1) Est-ce qu'il y a d'autres corps ayant ces propriétés que $\C$ ?
2) Est-ce que toute variété algébrique irréductible sur un tel corps $K$ est nécessairement connexe ?

Merci d'avance.

Réponses

  • 1) Le corps des matrices diagonales d'ordre $n$ à coefficient sur $\mathbb{C}$ me paraît répondre à la première question si je ne dis pas de bêtise.
  • Les matrices diagonales forment rarement un corps...
  • J'ai écrit vite.
    1) Les corps des matrices diagonales incluses dans $Gl_n(\mathbb{C}))$l ne sont pas isomorphes à $\mathbb{C}$ si $n\ge 2$.
  • Ce n’est [pas] stable pour l’addition.
  • Peut-être $\C_p$ le complété de la clôture algébrique de $\Q_p$ est-il séparé, connexe et algébriquement clos ?
    Merci d'avance.
  • Non, $\mathbb C_p$ est totalement discontinu puisque muni d'une distance ultramétrique.
  • Ah, d'accord, merci.
    Je pensais aussi que peut-être la clôture algébrique de $\R(X)$ pouvait convenir (en supposant $X$ supérieur strictement à tout $x \in \R$). On peut munir $\R(X)$ de la topologie de l'ordre. Mais je ne sais pas si on peut étendre la topologie à la clôture algébrique de $\R(X)$.
  • La clôture algébrique de $\mathbb R(X)$ est la réunion des extensions algébriques finies de $\mathbb R(X)$ donc peut étendre la topologie à cette clôture algébrique du moment que l'on parvient à le faire de manière compatible sur chaque extensions algébrique finie. On peut peut-être le faire avec la topologie produit en utilisant un isomorphisme de $\mathbb R(X)$-espace vectoriel avec un $\mathbb R(X)^n$.
  • Choisissons $n>1$ alors l'ensemble des matrices $\lbrace\lambda I_n\mid\lambda\in\mathbb{C}\rbrace$ est un corps topologique algébriquement clos séparé connexe isomorphe à $\mathbb{C}$ mais qui n'est pas $\mathbb{C}$.
  • Isomorphe à C ça veut dire C.
  • Apparemment, il existe des corps connexes (et même connexes par arcs) de n'importe quelle caractéristique puisque d'après cet article tout corps considéré avec la topologie discrète peut se plonger dans un corps connexe par arcs. Cependant, je ne sais pas si on peut en construire qui sont algébriquement clos et de caractéristique positive...

    Source: cf. le dernier commentaire de la première réponse ici: https://mathoverflow.net/questions/87967/is-the-reals-the-smallest-connected-ordered-topological-ring
  • Merci pour les réponses. Est-ce qu'on ne peut pas construire un corps topologique séparé connexe et algébriquement clos de cardinal strictement plus grand que $\C$ en utilisant le théorème qui dit que si un système d'axiomes admet un modèle au moins dénombrable, il en admet un de cardinal aussi grand que l'on veut ?
  • Le problème c'est la possibilité d'exprimer les propriétés en question dans un langage convenable au premier ordre. Ce n'est pas déjà faisable pour les corps algébriquement clos !
  • Je ne comprends pas pourquoi ce n'est pas faisable pour les corps algébriquement clos. On peut rajouter aux axiomes des corps, le nombre dénombrable d'axiomes suivant. Pour tout $n$ entier supérieur ou égale à $1$, on rajoute l'axiome: $\forall a_0, \forall a_1, \ldots, \forall a_{n-1}, \exists x, \underbrace{x\times x \times \cdots \times x}_{n\mathrm{~ fois}}+a_{n-1}\times \underbrace{x\times x \times \cdots \times x}_{n-1\mathrm{~ fois}}+ \cdots+a_1 \times x+ a_0=0$.
    Est-ce que c'est correct ?
    Peut-être pour les corps topologiques, c'est différent
  • Oui tu as raison pour ça, j'ai confondu avec le fait qu'être de caractéristique positive n'est pas exprimable au premier ordre.

    Ici j'ai un doute sur l'exprimabilité des propriétés topologiques, mais je n'y ai pas beaucoup réfléchi.
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