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Lemme d'Urysohn

Bonjour,

Je fais face à l'exercice suivant en analyse fonctionnelle.
$X$ est un espace séparé localement compact qui n'est pas compact.
$C_0(X)$ est l'espace de Banach qui consiste de fonctions continues $X\to \R$ telles que pour tout $\epsilon>0$ $\{x\in X: |f(x)|\geq \epsilon \}$ est compact.
Je veux montrer que la boule unité de $C_0(X)$ n'a pas de points extrémaux.

Soit $f\in C_0(X)$ telle que $||f||=1$. Alors l'ensemble $\{x\in X: |f(x)|\geq \frac12 \}$ est compact et non-vide et son complément est ouvert et non-vide (sinon $X$ serait compact).
Je veux construire maintenant une fonction $g\in C_0(X)$ telle que $||f\pm g||\leq 1$, ceci impliquerait que $f=\frac12(f+g)+\frac12(f-g)$. Pour cela, j'ai trouvé la version suivante du lemme d'Urysohn dans Rudin:
Soit $X$ un espace séparé localement compact, $V\subset X$ ouvert, $K\subset X$ compact tel que $K\subset V$. Alors il existe une fonction continue $g:X\to [0,1]$ à support compact inclus dans $V$ telle que $g|_K=1$.
Mais je ne vois pas en quoi ce lemme m'aiderait. Toute aide est la bienvenue, je suis à la recherche d'un indice :)

Réponses

  • Tu peux prendre $g$ qui vaut 1/4 sur ${|f| \leq 1/2}$, et plus petite que 1/4 sur le reste sauf erreur (si je me souviens bien de la construction de la fonction qui convient dans la preuve du lemme).
  • Ne peux-tu pas poser $g = (1 - |f|) * \phi $ avec $\phi $ valant $1$ sur ton compact et $\phi $ à support compact ?
  • @Frédéric, effectivement il me semble que ça marche.
    Donc il suffit d'appliquer le lemme d'Urysohn à mon compact $K$ avec $V=X$. :)
    Je me sens stupide maintenant mais merci ! ^^
  • Plus simple encore : Prendre pour g une fonction non nulle de norme < 1/2 à support dans l'ouvert où |f| < 1/2
  • Mais la preuve du lemme permet en plus de supposer que la fonction construite peut être à valeurs plus petites que 1 partout si j'ai de bons souvenirs (c'était toute une bricole à partir de distance à des compacts, avec pas mal de petites étapes un peu laborieuses).
  • La fonction est à valeurs dans $[0;1]$, donc plus petite que $1$ partout. Si tu demandes en plus qu'elle soit à valeurs dans $[0;1[$ sur $X \setminus K$, il faut des hypothèses supplémentaires ($X$ métrique convient, en utilisant en effet la distance à $K$, mais nous sommes sous des hypothèses bien plus faibles dans ce post, et avec les seules hypothèses dont on dispose au départ, on ne peut pas toujours).
  • Je n'avais pas vu le "à valeurs dans [0,1]", mais merci !
    J'avais peur de ne pas avoir bon dans mon premier message puisque je me souvenais seulement du théorème comme "on peut prendre une fonction qui vaut 1 sur le compact et 0 hors de l'ouvert". Mais le théorème est bien fait.
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