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Structure de corps sur R^3

Bonjour
Je me demande si on peut généraliser la construction du corps des complexes en dimension 3.
Je me dis bien que la réponse doit être négative sinon ça devrait être connu...
Formellement, est-ce qu'il existe une loi de composition interne $\times$ dans $\R^3$ telle que $(\R^3,+,\times)$ soit un corps ?

Réponses

  • La réponse est "oui" si tu ne demandes rien de plus, d'ailleurs il y en a plein.

    La réponse de Kolakoski est par contre "la bonne réponse", au sens où si tu demandes quoi que ce soit de raisonnable à cette structure, alors non.
    Par exemple, si tu demandes que $\times$ soit continue, ou si tu demandes qu'il y ait un morphisme de corps $\R \to \R^3$ tel que le second soit une extension de degré $3$ du premier.
  • Effectivement, merci pour la précision Maxtimax ! Comme on parlait de "généraliser la construction de $\mathbb{C}$, je suis resté dans un cadre assez restrictif...

    Bonne soirée.
  • Oui, et comme je l'ai dit, je pense que ta réponse est la bonne :-D (c'est la réponse à la question que Lee sin voulait certainement poser)
  • Si l'on ne veut pas appliquer le théorème de Frobenius, on peut raisonner comme suit.
    On définit une $\R$-algèbre comme un $\R$-espace vectoriel muni d'un produit interne bilinéaire. Par exemple, $\R^3$ avec le produit vectoriel. Cette $\R$-algèbre peut être associative, commutative, unitaire, intègre, ou ne pas l'être. Je ne crois pas avoir à rappeler les définitions. On a alors la proposition suivante.Une $\R$-algèbre associative et intègre de dimension finie impaire est de dimension $1$.$\bullet$ Soit une $\R$-algèbre $E$, associative, intègre, de dimension finie impaire.
    Pour $x \in E$ et $y \in E$, on note $xy$ le produit interne bilinéaire.
    $\bullet$ Soit $a \in E$, $ a\neq 0$ ; l'application $y \mapsto ay$, de $E$ dans $E$, est un endomorphisme du $\R$-espace vectoriel $E$. Comme l'algèbre $E$ est intègre et de dimension finie, et que $ a\neq 0$, cette application est un automorphisme du $\R$-espace vectoriel $ E$. Il existe donc $u \in E$ tel que $ au=a$, l'élément $u$ dépendant éventuellement de $a$.
    $\bullet$ Pour tout $y \in E$, on a : $auy=ay$, et comme $a \neq 0$, l'intégrité et l'associativité conduisent à : $uy=y$, pour tout $y \in E$.
    $\bullet $ Soit $x \in E$ ; l'application $y \mapsto xy$, de $E$ dans $E$, est un endomorphisme du $\R$-espace vectoriel $E$. Cet espace étant de dimension finie et impaire, cet endomorphisme a une valeur propre réelle $\lambda$, ce qui signifie qu'il existe $z \in E$ tel que : $xz=\lambda z$ et $z\neq 0$. Par suite : $xz=\lambda uz$ et comme $z \neq 0$, l'intégrité force à conclure : $x=\lambda u$, d'où : $E= \R u$.

    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
    07/11/2021
  • Merci à tous.
  • @Chaurien : Jolie démonstration!
  • Merci, elle est dans ma collection de sujets de colle, mais je ne me souviens plus d'où elle vient.
  • Ça me fait beaucoup penser à la manière de prouver que K[x] est un corps si x est algébrique.
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