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Problème aux limites et valeurs propres

Bonjour
on considère le problème aux limites suivant:
$$
\begin{cases}
y''+\lambda y =0, \quad 0 < x < \ell,\\
y(0)=2,\\
y(\ell)+y'(\ell)=0.
\end{cases}
$$
La question est de trouver les éléments propres de ce problème.
On cherche les valeurs propres $\lambda > 0$. Pour ça, on pose $\lambda = \alpha^2$ où $\alpha \in \R^*$. La solution générale de l'équation est
$$
y(x)= C_1 \cos(\alpha x) + C_2 \sin(\alpha x).
$$
La condition $y(0)=0$ donne $C_1=2$.
Ainsi, la condition $y(\ell)+y'(\ell)=0$ donne
$$
2\big(\cos (\alpha \ell)-\alpha \sin(\alpha \ell)\big)+ C_2 \big(\sin(\alpha \ell)+\cos(\alpha \ell)\big)=0.

$$ Comment de cette équation on peut déduire les valeurs propres $\lambda$ ?
Cordialement.

Réponses

  • Bonjour,

    Un facteur $\alpha$ est manquant.

    Après correction, trouvez une équation simple avec tangente $\alpha \ell.$ Et résolution graphique.
  • Oui. L'équation est
    $$
    2\big(\cos(\alpha \ell)- \alpha \sin(\alpha \ell)\big)+ C_2 \big(\sin(\alpha \ell) + \alpha \cos(\alpha \ell)\big)=0.

    $$ Justement je bloque à cette étape car je ne trouve pas la bonne équation vu qu'il y a $C_2$.
    Du coup avec $C_2$ comment on trouve l'équation que vérifie $\alpha \ell$ ? S'il vous plaît.
  • Bonjour
    Je ne fais pas les calculs mais on voit que pour chaque $\alpha \in \C $ (sauf peut être quelques exceptions faire le calcul ) le système admet une solution.

    Mais appeler $\lambda=\alpha^2$ une valeur propre me choque un peu!

    En effet si $y$ est la solution trouvée, y serait un vecteur propre mais si on multiplie y par une constante ce n'est plus un vecteur propre.

    La condition y(0)=2 fait que ce n'est pas un problème aux valeurs propres.

    D'autre part tu as écrit la "condition y(0)=0 donne $C_1=2$"

    alors il faudrait savoir c'est y(0)=2 ou bien y(0)=0 ?
  • $y(0)=2$ et non 0.
    Il faut trouver les valeurs propres positives. Je bloque au niveau de l'équation à déduire de la dernière formule que j'ai obtenu dans mon dernier message.
  • Tu bloques parce que ce n'est pas correctement quantifié ! En fait, tu n'as pas du tout quantifié depuis le début.

    Analyse.
    Soit $\lambda\in\R^+$ et $\alpha=\sqrt{\lambda}$.
    Si $y$ est une solution de ton équation aux limites alors il existe des constantes $C_1$ et $C_2$ réelles telles que $\forall x\in[0,\ell], y(x)=C_1\cos(\alpha x)+C_2 \sin(\alpha x)$.
    Puisque $y(0)=2$, $C_1=2$ et puisque $y(\ell)+y'(\ell)=0$, \[2\big(\cos (\alpha \ell)-\alpha \sin(\alpha \ell)\big)+ C_2 \big(\sin(\alpha \ell)+\alpha \cos(\alpha \ell)\big)=0
    \]
    • Si $\sin(\alpha \ell)+\alpha \cos(\alpha \ell)\neq 0$ alors \[C_2=2\frac{-\cos(\alpha \ell)+\alpha \sin(\alpha\ell)}{\sin(\alpha \ell)+\alpha \cos(\alpha \ell)}.
      \]
    • Sinon, $\sin(\alpha \ell)+\alpha \cos(\alpha \ell)= 0$ puis $\cos(\alpha \ell)\times (1+\alpha)^2=0$ puis $\cos(\alpha \ell)=\sin(\alpha \ell)=0$ : c'est absurde.
    Ainsi, pour tout $\lambda\in\R^+$ tel que $\sin(\alpha \ell)+\alpha \cos(\alpha \ell)\neq 0$, il y a au plus une solution et pour les autres, il n'y en a aucune.

    Synthèse.
    Pour $\lambda\in\R^+$ et $\alpha=\sqrt{\lambda}$, si $\sin(\alpha \ell)+\alpha \cos(\alpha \ell)\neq 0$, on vérifie que la solution potentielle est bien solution.

    Il reste à savoir si $\sin(\alpha \ell)+\alpha \cos(\alpha \ell)= 0$ possède des solutions et à quel endroit...
  • Merci beaucoup Bisam !
    Je ne comprends pas la dernière ligne : reste à savoir si $\sin(\alpha l)+ \alpha \cos(\alpha l)=0$ possède des solutions et à quel endroit. On a dit que c'est absurde. Non ?
    Et du coup, quelles sont les fonctions propres associées?
    Enfin, vous dire qu’on peut voir une solution potentielle. Quelle est cette solution potebtielle?

    Pour le cas $\lambda <0.$ On pose $\lambda = -\alpha^2$. La solution est de la forme
    $$
    y(x)= c_1 \cosh(\alpha x) + c_2 \sinh (\alpha x).

    $$ En utilisant les conditions aux limites, on obtient l'équation suivante :
    $$
    \big(2 \cosh(\alpha \ell)+ 2 \alpha \sinh(\alpha \ell)\big)+ c_2 \big(\sinh (\alpha \ell)+ \alpha \cosh(\alpha \ell)\big)=0

    $$ Normalement, il faut trouver qu'il n'existe pas de valeurs propres négatives. Mais comment on le démontre ici ? S'il vous plaît.
  • Il ne faut pas raconter n'importe quoi.

    $y=2 e^{-x}$ (avec $\lambda=-1$ (et $L=1$)) est solution du problème qui ne me semble pas être un problèmes aux valeurs propres.
    Et puis si je dis qu'il y a bien d'autres solutions que des solutions positives ce n'est pas la peine de demander comment on fait pour démontrer que les solutions sont positives.

    Big problème.
  • Je ne serais pas étonné d'apprendre par la suite que tu as un problème non homogène c'est-à-dire avec un second membre où intervient en particulier la condition y(0)= 2 et que tu dois chercher les valeurs propres de l'opérateur associé. Cet opérateur, je le devine est un opérateur positif. Mais tu n'as pas écrit les bonnes équations. Ceci étant dit, je ne suis pas devin et c'est ton travail de savoir poser la question correctement de façon à avoir une réponse correcte.
  • Effectivement, c'est un souci que le problème de départ ne soit pas linéaire...
  • Bonjour,
    je suis perdue avec les trois dernières réponses. La réponse de Bissam me semble bonne. Non?
    J'ai posé des questions par rapport au post de Bissam. Pouvez-vous m'aider? Svp
  • Résoudre l'équation proposée n'est pas un problème.

    Le problème c'est que la question a certainement été déformée.
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