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Intégrale

Bonsoir à tous
J'ai essayé sans succès de montrer que en posant $\Psi (x)=\{x\}-\frac{1}{2}$
$$ \Psi_2(x)=\int_{0}^{x}\Psi (t)dt=\frac{\Psi^2(x)}{2}-\frac{1}{8}.
$$ Ce que j'obtiens c'est
\begin{align*}
\Psi_2(x)&=\int_{0}^{x}\Psi (t)dt=\sum_{k=0}^{[x ]}\int_{k}^{k+1}(t-[t])dt-\frac{x}{2}=\frac{[x]-x}{2}=\frac{-\{x\}}{2}+\frac{1}{2} \\
\Psi_2(x)&= -\frac{\Psi(x)}{2}+\frac{1}{4}.
\end{align*} Quelqu'un peut-il me suggérer une indication ?

Réponses

  • Bonjour,

    Faut-il sommer l’intégrale jusqu’à $E(x)$ ou $E( x)-1$ ?

    L’intégrale de $t$ est $t^2/2$ donc un $2 k+1-k=k+1$ dont la somme est $E(x)(E(x)+1)/2$ et on voit le carré apparaître…

    On a $x=E(x)+\{x\}=E(x)+\psi(x)+1/2.$
  • Bonjour @Yves la fonction à intégrer n'est elle pas $t-k$ sur $[k,k+1[$ la primitive est $ F(t)=\frac{(t-k)^2}{2}$ en évaluant $F(k+1)-F(k)$ on trouve $\frac{1}{2}$
  • Bonjour,

    Je reprends mais je te donne le résultat alors que je voulais donner une indication.

    Tu commets je crois l’erreur de considérer que $x$ est entier. Donc dans la somme indicielle tu sommes jusqu’à du $E(x)$ mais tu oublies le terme entre $E(x)$ et $x.$

    On a $\displaystyle \psi(x)=F(x)-1/2.$
    On cherche $\displaystyle \psi_2(x)=\int_0^x \psi(t) dt. $

    On a $\displaystyle x=E(x)+F(x).$

    Donc on utilise Chasles et on décompose l’intégrale en une somme d’intégrale de longueur $1$ :
    $\displaystyle \psi_2(x)=\sum_{k=0}^{E(x)-1} \int_k^{k+1} \psi(t) dt +\int_{E(x)}^x \psi(t) dt .$

    La première somme aboutit à $k+1$ pour $\displaystyle k=E(x)-1$ et donc à $E(x).$

    L’intégrande de la première intégrale est $\displaystyle F(t)-1/2=t-k-1/2$ et je te laisse vérifier que l’intégrale est nulle. Incroyable.

    L’intégrande de la seconde intégrale est $\displaystyle F(t)-1/2=t-E(x)-1/2$ dont l’intégrale donne le résultat cherché.
  • Merci j'ai vu mon erreur merci @Yves
  • Plus généralement, on a
    $$\int_a^b \psi(t) \, \textrm{d}t = \tfrac{1}{2} \left( \psi(b)^2 - \psi(a)^2 \right).$$
    Une démonstration élémentaire possible (mais il y en a bien d'autres) consiste d'abord à voir qu'il faut et il suffit de montrer
    $$\int_a^b \{t\} \, \textrm{d}t = \tfrac{1}{2} \left( \lfloor b \rfloor - \lfloor a \rfloor + \{b\}^2 - \{a\}^2 \right)$$
    et pour avoir cette identité, on peut penser à découper l'intégrale de gauche en $3$ morceaux
    $$\int_a^{\lfloor a \rfloor+1} + \int_{\lfloor a \rfloor +1}^{\lfloor b \rfloor} + \int_{\lfloor b \rfloor}^b$$
    les trois intégrales étant alors faciles à calculer (par exemple, la seconde intégrale compte l'aire totale de $\lfloor b \rfloor - \lfloor a \rfloor - 1$ triangles disjoints d'aire $\frac{1}{2}$).
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