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Ordre d'un produit d'éléments

Soit $G$ un groupe abélien.

Je sais que si $(a,b)\in G^2$ avec leurs ordres $\omega(a)$ et $\omega(b)$ finis et premiers entre eux, alors $\omega(ab)=\omega(a)\omega(b)$.

Est-ce qu'on a aussi la propriété plus générale : si $(a_i)_{i\in I}$ est une famille finie d'éléments de $G$ avec $(\omega(a_i))_{i\in I}$ une famille d'éléments finis deux à deux premiers entre eux, alors $\omega\left(\underset{i\in I}\prod a_i\right)=\underset{i\in I}\prod\omega(a_i)$ ?

Selon moi oui, par récurrence, mais je suis étonné de pas voir ce résultat dans les cours que j'ai étudiés. Ainsi, je me demande si je ne passe pas à côté d'un truc.

Cette propriété semble notamment utile pour montrer que tout groupe abélien fini admet un élément d'ordre égal à l'exposant du groupe.

Réponses

  • C'est surtout qu'on évoque plus généralement le résultat dans un groupe non nécessairement abélien en supposant que les éléments commutent. Et à mon avis en général les hypothèses de la généralisation hors cas abélien coûtent cher.
    Mais la propriété sur l'exposant se montre (traditionnellement ?) comme ça donc je ne vois pas le manque.
  • topopot : la plus générale s'obtient immédiatement à partir de $2$ par récurrence, c'est certainement pour ça que ce n'est pas énoncé explicitement.
  • Merci à vous deux !
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