Borne sup — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Borne sup

Soit $X=\,]-3,0]\cup\{1,3\}$.
Comment peut-on monter en utilisant la caractérisation de la borne sup que le $\sup X= 3 $ ??

$\forall \varepsilon >0,\, \exists x\in X ,\ 3-\varepsilon <x$.

Réponses

  • $3 \in X$ et pour tout $\varepsilon >0$, $3-\varepsilon <3\leq 3$.
    Encore plus convaincant :
    $3 \in X$ et pour tout $m<3$, benh $m<3\leq 3$...
  • D'une part, la phrase que tu écris et qui commence par « $\forall \epsilon$ » n'est que la moitié de la caractérisation, il faut aussi (d'abord ?) montrer que $3$ est un majorant.

    D'autre part, si $\epsilon>0$ t'est donné, tu ne vois pas un élément de $X$ qui est strictement plus grand que $3-\epsilon$ ? Pourrais-tu placer $3-\epsilon$ sur le dessin ci-dessous (en supposant que $\epsilon$ est « petit »), où j'ai obligeamment dessiné $X$ ?128460
    sup.png 10.3K
  • Bonjour,

    Une discussion précédente intéressante Caractérisation de la borne sup.
  • Math Coss, je pense qu’il n’a pas de doute sur l’autre moitié(sinon, ce serait inquiétant...) et que c’était cette moitié qui lui posait problème.
  • Oui, c'est bon on peut toujours trouver un $x\in X$ tel que $3-\varepsilon<x$. ( 3 est un majorant de X, c'est évident)

    Merci pour votre aide.
  • Notez que je n'ai pas dit qu'il n'était pas évident que $3$ majore mais qu'il faut le dire.
  • Oui vous avez raison, j'ai seulement oublié de le mentionner.
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