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Topologie du groupe linéaire

Bonsoir
Est-ce qu'on sait des choses sur la topologie de $GL(E)$ lorsque $E$ est un espace vectoriel normé de dimension infinie ?
Par exemple est-ce qu'il reste ouvert ?
Ce qui m'amène vers une autre question... est-ce que la notion de déterminant se généralise à la dimension infinie ?
Plus précisément est-ce qu'on peut construire une application $D$ de $L(E)$ vers $\R$ (ou $\C$) telle que $D(uv) = D(u)D(v)$ et $D(u) \neq 0$ ssi $u$ est inversible.

Réponses

  • Si $E$ est un Banach alors $B(\mathrm{Id},1)$ ne contient que des inversibles donc $GL(E)$ est ouvert.

    En dimension infinie il peut exister $u$ et $v$ non inversibles tels que $uv$ soit inversible.
  • Un grand classique le sujet de l'ouverture de plus. Exercice à faire absolument.

    En dimension infinie on est dans de l'analyse et non plus de l'algèbre donc mieux vaut limiter ses espoirs.
    On entre dans le champ de la théorie des opérateurs. Il faut voir du côté des livres d'analyse fonctionnelle pour avoir des résultats.
    Évidemment je me dois comme d'habitude de recommander celui de Daniel Li même s'il ne dédie qu'un chapitre au sujet, il y a quand même des pré-requis pour aller plus loin.
    Il doit y avoir des livres de théorie des opérateurs pure qui partent des bases sinon.
  • Sur une notion de déterminant en dimension infinie: https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9terminant_de_Fredholm
  • Une autre différence entre la dimension fine et la dimension infinie : Le groupe linéaire n'est plus dense dans l'ensemble des applications linéaires continues.
  • La plus évidente mais à laquelle on ne pense pas, et qui est la base des définitions nouvelles : on n'a plus l'équivalence entre injectif et bijectif. Les sous-espaces propres ne sont donc plus si simples et on doit définir deux spectres : ceux qui rendent M - kId injectif et ceux qui le rendent bijectif.
    La seule théorie que je connaisse est celle des opérateurs compacts (qui en quelque sorte peuvent transformer les bornés en parties d'adhérence compacte et permettent de se ramener à l'intuition de la dimension finie).
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