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Une relation avec les deux points de Fermat

Bonjour à tous
Je propose ce problème.

Soit $ABC$ un triangle, $ O, F_1, F_2 $ le centre du cercle circonscrit, le 1er point de Fermat, le 2e point de Fermat.
On note :
$\Gamma_{F_1}(\odot (O))$ la puissance de $F_1$ par rapport au cercle circonscrit $\odot (O).$

Montrer que :
$$ \Gamma_{F_1}(\odot (O)) + \Gamma_{F_2}(\odot (O)) = -{F_1F_2}^2.

$$ Amicalement.

Réponses

  • Bonjour,

    Avec Morley circonscrit:
    % Bouzar - 06 Novembre 2021 - Une relation avec les deux points de Fermat 
    
    clc, clear all, close all
    
    syms a b c
    syms aB bB cB % Conjugués
    
    aB=1/a;
    bB=1/b;
    cB=1/c;
    
    syms r real % r=sqrt(3)
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    n1 = i*r*(- b^2*c + a*b^2 - b*c^2 + a*c^2) - (b - c)*(a*b + a*c - b*c + 2*a^2);
    d1 = i*r*(a*b + a*c - 2*b*c) - 3*a*(b - c);
    
    n1B = -i*r*(- bB^2*cB + aB*bB^2 - bB*cB^2 + aB*cB^2) - (bB - cB)*(aB*bB + aB*cB - bB*cB + 2*aB^2);
    d1B = -i*r*(aB*bB + aB*cB - 2*bB*cB) - 3*aB*(bB - cB);
    
    F(r)=n1/d1; FB(r)=n1B/d1B;
    
    f1=F(r); f1B=FB(r); f2=F(-r); f2B=FB(-r); % Les deux points de Fermat
    
    PuissF1=f1*f1B-1; % Puissance de F_1
    PuissF2=f2*f2B-1; % Puissance de F_2
    Dist2=(f2-f1)*(f2B-f1B); % Carré de la distance F_1 F_2
    
    Nul=Factor(PuissF1+PuissF2+Dist2) % Doit être égal à 0
    
    % On trouve pour le numérateur Num de Nul:
    
    Num=2*(r^2-3)*(a-b)*(a-c)*(b-c)^2*(-(b+c)*(a*b+a*c-2*b*c)*(b-2*a+c)*r^2 + 3*(b-c)^2*(a*b+a*c+2*b*c+2*a^2));
    
    % r^2-3 est en facteur, donc c'est gagné, car r=sqrt(3)
    
    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonjour.

    On a donc $OF_1 ^2 +OF_2^2+F_1 F_2 ^2=2R^2$. Une conséquence géométrique serait bienvenue.

    Cordialement, Pierre.
  • Bonjour,

    Une figure, quand même !!

    Cordialement,

    Rescassol128530
  • Bonjour,

    juste pour dire qu'une preuve synthétique est possible...

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Bonjour,

    Bien sûr qu'une preuve synthétique est possible, comme d'ailleurs, je pense, pour tout résultat démontrable autrement dans le même cadre.
    Il n'existe pas, à ma connaissance, de résultat géométrique, démontré par une méthode, pour lequel on ait démontré qu'il n'existe pas de preuve synthétique.
    D'ailleurs, en l'occurrence, je peux affirmer sans grand risque qu'une preuve barycentrique est possible,

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonjour à tous,
    j'ai toujours pensé qu'un solution synthétique est toujours possible jusqu'au jour de ce problème...

    http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol64.html

    puis

    Une conjecture résolue... (par une hyperbole sur l'idée de pappus)...

    J'ai posé ce problème sur différents sites... (tour de la planète..)

    Ma question est : y a-t-il une limite dans la recherche d'une preuve synthétique ?
    ou bien manque-t-il un chaînon synthétique manquant ?

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Bonjour,

    ma preuve...

    http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol70.html

    puis

    Une remarquable relation de Telv Cohl.

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Bonjour,

    Une preuve en coordonnées barycentriques:
    % Bouzar - 06 Novembre 2021 - Une relation avec les deux points de Fermat 
    
    clc, clear all, close all
    
    syms a b c S real % Longueurs des côtés du triangle ABC et son aire S
    
    Sa=(b^2+c^2-a^2)/2;
    Sb=(c^2+a^2-b^2)/2;
    Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;
    
    S2=(a+b+c)*(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c)/16; % Carré de l'aire (S2=S^2)
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    % Centre du cercle circonscrit et carré de son rayon
    
    O = [a^2*Sa; b^2*Sb; c^2*Sc];
    R2 = a^2*b^2*c^2/(16*S2);
    
    % Points de Fermat
    
    syms u v w r S real % r=sqrt(3) et S=Aire(ABC)
    
    F(u,v,w,r)=(u+2*r*S)*(v+w)+4*v*w; % Fonction pour la permutation circulaire
    
    F1=[F(Sa,Sb,Sc,r); F(Sb,Sc,Sa,r); F(Sc,Sa,Sb,r)];    % Premier et second
    F2=[F(Sa,Sb,Sc,-r); F(Sb,Sc,Sa,-r); F(Sc,Sa,Sb,-r)]; % point de Fermat
    
    OF1=Distance2(O,F1,a,b,c);   % Carré de la distabce OF_1
    OF2=Distance2(O,F2,a,b,c);   % Carré de la distance OF_2
    F1F2=Distance2(F1,F2,a,b,c); % Carré de la distance F_1F_2
    
    X=Factor(OF1+OF2+F1F2);
    
    X=expand(X);
    X=subs(X,r^4,9);
    X=subs(X,r^2,3);
    X=subs(X,S^2,S2);
    
    Nul=Factor(X-2*R2) % Égal à 0, donc c'est gagné
    
    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonsoir et merci Rescassol pour tes contributions.

    Amicalement
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