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Inégalité à établir

Bonjour

Soit $(E;\|.\|)$ un espace normé.
$x\in E$ et $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\subset E$. $(h_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\subset \mathbb{R}^{*+}$ décroit vers $0$.
Peut-t-on trouver une fonction $C(h_n;h_m)$ tel que :
$$\bigg| \frac{\|x-X_n\|}{h_n}-\frac{\|x-X_m\|}{h_m} \bigg|\leq C(h_n;h_m)\|X_n-X_m\|.

$$ Merci.

Réponses

  • A priori, si $(X_n )$ est injective, il suffit de poser $C(h_n , h_m )$ le quotient du membre de gauche par $\| X_n - X_m \| $, avec éventuellement des max, pour que ça marche. En revanche, si on a $X_n = X_m \neq x$ et $h_n \neq h_m $, le membre de droite est nul que que soit $C(h_n ; h_m)$ et le membre de gauche est strictement positif, donc on ne peut obtenir l'inégalité.
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