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Comportement d'une suite

Bonsoir.
Je tiens d'emblée à préciser que je recherche essentiellement des références ou des pistes de réflexions.

J'ai une suite réelle $(u_n)$ telle que $$\lim_{n \to \infty} u_n = k \in \R.

$$ J'ai commencé à analyser le comportement de $(v_n) = (u_n - k)$, il se trouve que $$\lim_{n \to \infty}\frac{v_n}{v_{n+1}} = k
.
$$ Je construis donc $(w_n) = (\frac{v_n}{v_{n+1}} - k)$ et j'obtiens $$\lim_{n \to \infty}\frac{w_n}{w_{n+1}} = k.

$$ Et ce comportement se poursuit avec les suites que je crée sur ce schéma.
Merci d'avance pour toute idée qui me permettrait de caractériser exactement la nature de la suite de départ.
À bientôt.

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Réponses

  • Bonjour,

    Je croyais que la nature d'une suite est l'étude de la convergence. La suite $u$ converge vers $k.$

    Pour $k>1$, tu as par exemple, $u_n = k + {1 \over k^n} (1+ {1 \over k^n})$ qui semble convenir aux relations données.
  • Merci, YvesM.

    Ce que j'entends par la nature de la suite est la façon qu'elle a de converger.

    Je vais réfléchir sur ton exemple car il est relativement différent de mon problème, ce qui me donne au moins deux pistes.

    Encore merci et à bientôt.

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  • Bonjour,

    Comme $v_n/v_{n+1}\to k$ alors il existe nécessairement une suite $x$ de limite $1$ telle que $v_n/v_{n+1}=k x_n.$
    On reconnaît un produit télescopique : $v_1/v_{m+1}=k^m \prod_{n=1}^m x_n$.

    On a donc $u_n=k+(u_1-1) k^{-n+1}\prod_{j=1}^{n-1} {1\over x_j}$.

    La réciproque est vraie.

    C’est donc une équivalence.

    Tu as donc la façon dont $u$ converge selon la suite $x$ arbitraire de limite $1$ et non nulle.

    Je te laisse écrire de même pour la suite $w$ en fonction d’une suite $y$ de limite $1.$

    Puisque tu écris les rapports en $v$ et $w$, tu supposes que les suites $v$ et $w$ ne s’annulent jamais. Donc $x$ et $y$ ne s’annulent jamais.

    Puis tu peux spécifier $x$ et $y$ pour faire converger $u$ de différentes façons.
  • Bonjour.

    Un tout grand merci YvesM, je n'avais pas du tout pensé comme cela.

    Effectivement les suites ne s'annulent pas.

    À bientôt.

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