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Calcul de limite

Modifié (December 2021) dans Analyse
Bonjour,
Je suis de niveau lycée.
Je suis bloqué sur le problème suivant.

lim quand a tend vers 1/2 de (2x²-3x+1)/cos(pi*x)
On retrouve une forme indéterminée.

J'ai tenté de faire disparaître le cos(pi*x) en l'écrivant sous la forme cos((pi-1)x+x) mais cela ne m'a mené à rien.
J'ai aussi essayé de transformer cos(pi*x)=sin(pi*x)/tan(pi*x), mais je me retrouve avec la forme indéterminé 0*infini.
Maintenant, je ne sais pas trop quoi faire donc je cherche une personne pour me donner un coup de pouce.
Merci d'avance.
Mots clés:

Réponses

  • Je ne sais pas où tu en es dans ton cours, mais si tu as déjà vu les dérivées, tu devrais essayer de faire apparaître un taux d’accroissement.
  • Bonjour.

    Si tu as la règle de l'Hospital dans ton cours, c'est immédiat..

    Cordialement.
  • Tu peux aussi poser $x=1/2+\varepsilon$, et trouver pour nouvelle expression:
    $$
    \frac{-\varepsilon + \varepsilon^2}{-\sin(\pi\varepsilon)},
    $$
    puis regarder le comportement quand $\varepsilon$ tend vers $0$. Si tu sais que $\lim_{x\to 0} \sin(x)/x$ existe et vaut $1$, tu peux conclure que la limite que tu cherches existe et vaut $1/\pi$.
  • Bonjour,
    Merci pour vos réponses.
    J'ai utilisé la technique de l'Hospital et effectivement c'est immédiat. Par la suite j'ai voulu tester le changement de variable x= 1/2+eps (eps=epsilon)
    Avec ce changement de variable on retrouve donc la forme:
    ((-eps)+(eps)²)/-sin(pi.eps)
    = (eps(eps-1))/-sin(pi.eps)
    Maintenant je cherche un moyen de retrouver une forme:
    eps/sin(eps).(eps-1)/-pi
    = 1.(eps-1)/-pi
    Et lorsque qu'epsilon tend vers 0 on retrouve bien 1/pi. Mon problème et que je ne trouve pas la méthode pour passer de l'étape (2) à la (3).
    Je cherche une personne pour me débloquer, merci d'avance.
  • Tu peux décomposer la somme:
    $$
    \frac{-\varepsilon + \varepsilon^2}{-\sin(\pi\varepsilon)}= \frac{1}{\pi}\frac{(\pi\varepsilon)}{\sin(\pi\varepsilon)}-\frac{1}{\pi^2}\frac{(\pi\varepsilon)^2}{\sin(\pi\varepsilon)}
    $$
    De $\lim_{x\to 0} x/\sin(x)=1$, on déduit que $\lim_{x\to 0} x^2/\sin(x)=0$ (si $f$ et $g$ on un limite en $0$, $fg$ a aussi une limite, qui est le produit des limites de $f$ et de $g$).
    Donc le premier terme a pour limite $\frac{1}{\pi}$, et le deuxième a pour limite $0$.
  • Plus simplement, tu peux écrire
    \[\frac{-\varepsilon + \varepsilon^2}{-\sin(\pi\varepsilon)} = \dfrac{1-\varepsilon}{\pi}\times \dfrac{\pi\varepsilon}{\sin(\pi\varepsilon)}.\]
  • Ily.Doude
    Si tu es au lycée la règle de l’Hospital n’est pas au programme (ou alors j’ai encore raté quelque chose) (ton ’’niveau lycée" n’est pas très clair).
  • Au lycée en France, cette formule n'est pas au programme. Mais elle l'est dans de nombreux pays de la francophonie. Donc Ily.Doude l'a peut-être dans son cours.

    Cordialement.
  • D’où l’intérêt de bien se présenter lorqu’on demande de l’aide (surtout dans ses premiers messages) car on peut aussi être dans une formation bac+2 et avoir un niveau lycée.
  • Je trouve que la règle de l'Hospital est inutile et je ne l'ai jamais utilisée. Je suis plutôt d'accord avec i.zitoussi et MrJ, sauf que j'aurais plutôt mis $t$ à la place de $\varepsilon$.
    Et surtout d'accord avec biely. Un questionneur a tout intérêt à préciser exactement quel domaine de connaissances est requis pour traiter son problème.
  • Chaurien a écrit:
    Un questionneur a tout intérêt à préciser exactement quel domaine de connaissances est requis pour traiter son problème

    Tout à fait d'accord.

    C'est d'ailleurs quelque chose que l'on répète depuis des années, et ça ne semble pourtant pas bien entrer dans les mœurs de ce forum.
  • Dans la plupart des autres forums, il y a des sous-forums dédiés pour chaque niveau, ou bien une case à cocher obligatoire pour préciser le niveau de la question posée.
  • Bonjour merci pour vos réponses j'ai grâce à cela compris.
    Effectivement la règle de l'[large]H[/large]ôpital n'est pas de mon programme, je prends juste un peu d'avance.
    J'ai un autre question à poser concernant ce calcul de limite :
    (a²-x²)/cos((pi.x)/(2.a)) quand a appartient à R*
    J'ai réussi à la calculer en utilisant la méthode de l'[large]H[/large]ôpital mais j'aimerais savoir si une personne connaît une autre méthode pour calculer cette limite.
    Merci d'avance.

    [Guillaume de l'Hôpital (1661-1704) prend toujours une majuscule. AD]
  • Les développements limités.
  • Bonjour.

    Cos(a) =cos(2.a/2)=1-2 sin(a/2)^2

    Cordialement.
  • Bonjour,
    Merci beaucoup pour vos réponses.
    J'ai continué d'utiliser la technique des développements limités sur un autre exercice afin de mieux la comprendre. Mais sur l'exercice sur lequel je suis je ne trouve pas comment trouver la solution avec la technique des développements limités.
    Voici l'exercice:
    Calculer si elle existe, la limite de la fonction quand x tend vers pi/6
    f(x)=(sin(pi/3-2x))/1-2sinx
    Je cherche une personne qui pourrait me débloquer, cela m'aiderait énormément. Merci d'avance.
  • @Ily.Doude
    Commence par faire le changement de variable $\displaystyle x=\frac{\pi}{6}+h$.
  • Bonjour,
    Merci de vos réponses.
    J'ai une nouvelle question sur laquelle j'ai des difficultés:
    Calculer la limite de x*E(1/x) quand a= +infini
    x--> E(x) désigne la fonction partie entière 
    Je me suis renseigné sur la notion de fonction partie entière et j'ai essayé de trouver la limite mais j'ai vraiment du mal à trouver une piste exploitable. Donc si une personne veut bien m'aider cela m'aiderait beaucoup.
    Merci d'avance.

  • Modifié (December 2021)
    Fais le calcul lorsque x=1000.
  • Modifié (December 2021)
    Le théorème de l’Hospital devrait être enseigné 1ère en France, comme c’est le cas dans plusieurs pays de l’Est.
    De même Stolz-Cesaro très utile pour les limites de suites numériques.
  • Modifié (December 2021)
    Une information top secrète  Stolz-Cesàro est la version discrète de la règle de  l’Hospital. Chut !
  • Bonjour,
    Merci pour vos retours la dernière fois.
    J'ai une nouvelle difficulté avec des valeurs absolues.
    On a la fonction Vn= U(n+1)/Un et V(n+1)= 1+1/x
    U(n+2)=U(n+1)+Un , U(0)=0 et U(1)=1
    On sait que V(n+1)-a=(1/(Vn*a))*(a-Vn)   (1)
    Avec a=(1/2)*(1+5^(1/2))
    On doit en déduire la forme 
    |Vn-a|《(1/a)^(n-1)*|V(1)-a|
    J'ai fait plusieurs test avec n=1;2 et 3 afin de garder V(1) (en partant de la formule (1)) et j'en déduis cette forme 
    V(n+1)-a= (1/a)^(n)*(1/(Vn*V(n-1)*...*V(1)))*(-1)^(n-2)*(V(1)-a)
    Mais à partir d'ici je me trouve bloqué car je ne vois pas comment avoir une inégalité et les deux valeurs absolues. Si vous avez une idée pour me décoincer je suis preneur.
  • Modifié (December 2021)
    Bonjour.
    Peux-tu nous donner un énoncé cohérent ? Car
    "On a la fonction Vn= U(n+1)/Un et V(n+1)= 1+1/x
    U(n+2)=U(n+1)+Un , U(0)=0 et U(1)=1"
    n'a aucun sens !!
    Comme tu rajoutes "On sait que V(n+1)-a=(1/(Vn*a))*(a-Vn)   (1)" c'est soit que tu as oublié une partie de l'énoncé, soit que tu parles d'un exercice en cours de traitement. Mais dans les deux cas, on n'a pas l'énoncé, on ne risque pas de pouvoir t'aider.
    Cordialement.
  • Modifié (December 2021)
    Bonjour
    Désolé pour mon message mal formulé, je vais le reformuler.

    On définit la suite V(n) par la formule : V(n)=U(n+1)/U(n) et on considère la fonction auxiliaire f définie sur R*+ par x--> 1+1/x.
    On définit aussi la suite U(n) des nombres de Fibonacci par les formules: U(0)=0 et U(1)=1 et U(n+2)=U(n+1)+U(n).
    La question est que l'on veut déduire de l'égalité : V(n+1)-a=1/(V(n)*a)*(a-V(n))
    l'Inégalité : |V(n)-a|《(1/a)^(n-1)*|V(1)-a|.

    Je sais de plus grâce aux questions précédentes que : V(n+1)= f(V(n)) et f(a)=a.
    Voilà, encore désolé pour mon message précédent, j'espère que cela est plus clair pour vous et sinon n'hésitez pas à me le signaler. Je vous remercie d'avance.
    Cordialement.
  • Modifié (December 2021)
    OK !
    Mais toujours du flou (on ne sait pas qui est ce $a$, donc je n'essaie même pas de deviner) : 
    "V(n+1)-a=1/(V(n)*a)*(a-V(n))" ?? S'agit-il de $V(n+1)-a=\frac 1{V(n)*a}*(a-V(n))$ ? C'est ce que tu as écrit.
    En tout cas, ce genre de question se traite quasiment toujours par récurrence (regarde pour $n=2$ ou $3$ ce qui se passe).
    Cordialement.
  • Modifié (December 2021)
    J'ai effectivement oublié de préciser une information. On nous dit que a=(1/2)*(1+(5)^(1/2)). C'est tout ce que j'ai concernant a.
    Concernant l'écriture où vous aviez un doute, c'est bien celle-ci.
    J'ai testé sur l'égalité (1) avec n=1; n=2 et n=3 et j'ai réinjecté les écritures pour n=1 et n=2 dans n=3 afin de garder V(1).
    J'ai trouvé ceci :
    V(4)-a= (1/(V(3)*V(2)*V(1)))*(1/a)^(3)*(a-V(1))*(-1)*(-1).
    Qu'en pensez-vous ?
    Cordialement.
  • Modifié (December 2021)
    "Qu'en pensez-vous ?"
    Pas grand chose ! Tu n'as pas terminé le calcul (le but est de démontrer une formule, il faudrait la retrouver.
    le but était de simplement comprendre comment on passe d'un Vn au suivant, pour la récurrence.
    Bon travail !
  • Modifié (1 Jan)
    Bonjour,
    Merci de m'avoir répondu la dernière fois.
    J'ai avancé sur le problème et je me retrouve bloqué. J'ai exprimé dans le cas général l'égalité (1) en faisant apparaître V(1):
    V(n+1)-a= (1/a)^(n)*(1/(Vn*V(n-1)*...*V(1)))*(-1)^(n-2)*(V(1)-a)
    Ensuite j'ai essayé de la transformer pour avoir V(n)-a=... mais je n'ai pas réussi. Après cela j'ai pris l'inégalité du problème et essayé la récurrence afin de l'exprimer en fonction de V(n+1). Mon problème est que je n'arrive pas à faire le lien entre l'égalité (1) et l'inégalité. Je cherche un moyen de faire apparaître l'égalité (1) dans l'inégalité afin de retrouver la même forme mais avec V(n+1).
    J'ai essayé d'exprimer mon problème de façon claire même si cela reste encore un peu flou pour moi. Désolé de vous solliciter encore. 
    Cordialement.
  • Modifié (1 Jan)
    Vn*V(n-1)*...*V(1)) se simplifie !!
    Et tu as dû, dans les questions précédentes de ton problème, démontrer un lien entre les Un et a.
    Mais comme tu poses les questions dans le désordre, au lieu de donner l'énoncé précis de ton problème, on ne peut pas t'aider.
  • Modifié (1 Jan)
    Merci pour votre réponse.
    Je vais regarder pour la piste que vous m'avez donnée et donner l'énoncé complet.
  • Modifié (1 Jan)
    1) Tu n'as jamais donné ton énoncé, seulement ta propre interprétation, dans le désordre (V d'abord, puis U, alors que V est définie à partir de U !!!), et probablement incomplète.
    2) Tu as probablement un vrai énoncé, que tu nous caches soigneusement.
    Conclusion.  J'arrête de perdre mon temps à essayer de savoir quel est le problème ... débrouille-toi seul !
  • A. On définit la suite U(n) des nombres de Fibonacci par les formules :
    U(0)=0 U(1)=1 et U(n+2)=U(n+1)+U(n)
    1. Dresser un tableau des valeurs de U(n) allant de 0 à 10.
    2. Montrer que U(n+5)=5*U(n+1)+3*U(n)
    3. En déduire qu'il y a une infinité de nombres de Fibonacci qui sont multiples de 5.
    4. Démontrer par récurrence les deux relations suivantes 
    -∑(avec n au dessus et i=0 en dessous du symbole)U²(i)=U(n)*U(n+1)
    -U²(n+1)=U(n)*U(n+2)+(-1)^(n)

    B.
    On définit la suite V(n) par la formule 
    V(n)=U(n+1)/U(n)
    Et on considère la fonction auxiliaire f définie sur R*+ par x-->1+1/x
    1. Montrer directement que pour tous n∊N* on a
    V(n+1)=f(Vn)
    2.Conjecturer la limite de V(n) en construisant V(2) V(3) et V(4) à l'aide du graphe de f.
    3. On pose a=1/2*(1+5^(1/2)). Vérifier que f(a)=a. Démontrer que pour tous n∊N* on a:
    V(n+1)-a=1/(V(n)*a)*(a-V(n))
    4. En déduire:
    |V(n)-a|《(1/a)^(n-1)*|V(1)-a|
    5.Conclure
    Voilà tous l'énoncé. Ma question est la 4 B.

  • La question 4 se fait rapidement par récurrence (indication V(n)>1).
  • Merci.
  • Modifié (1 Jan)
    Je n'ai jamais employé la « règle de L'Hôpital », je trouve que c'est inutile et je suis content de ne l'avoir jamais vue au programme dans les classes où j'ai enseigné. J'ai été tout étonné de la voir dans le cours de ma fille quand elle était élève de Math. Sup. au siècle dernier.
  • Modifié (6 Jan)

    Bonjour,
    Je suis élève de seconde et je me retrouve en difficulté sur ce problème, plus précisément à la question 4 B.

    A. On définit la suite U(n) des nombres de Fibonacci par les formules :
    U(0)=0 U(1)=1 et U(n+2)=U(n+1)+U(n)
    1. Dresser un tableau des valeurs de U(n) allant de 0 à 10.
    2. Montrer que U(n+5)=5*U(n+1)+3*U(n)
    3. En déduire qu'il y a une infinité de nombres de Fibonacci qui sont multiples de 5.
    4. Démontrer par récurrence les deux relations suivantes 
    -∑(avec n au dessus et i=0 en dessous du symbole)U²(i)=U(n)*U(n+1)
    -U²(n+1)=U(n)*U(n+2)+(-1)^(n)

    B.
    On définit la suite V(n) par la formule 
    V(n)=U(n+1)/U(n)
    Et on considère la fonction auxiliaire f définie sur R*+ par x-->1+1/x
    1. Montrer directement que pour tous n∊N* on a
    V(n+1)=f(Vn)
    2.Conjecturer la limite de V(n) en construisant V(2) V(3) et V(4) à l'aide du graphe de f.
    3. On pose a=1/2*(1+5^(1/2)). Vérifier que f(a)=a. Démontrer que pour tous n∊N* on a:
    V(n+1)-a=1/(V(n)*a)*(a-V(n))
    4. En déduire:
    |V(n)-a|《(1/a)^(n-1)*|V(1)-a|
    5.Conclure

    J’ai avancé sur cette question en utilisant la récurrence comme me l’a conseillé @gerad0. D’ailleurs, j’aimerais savoir comment Monsieur gerad0 vous avez pensé à utiliser la récurrence ? Car je ne trouve pas toujours évident de savoir quel type de méthode employer.De plus je cherche aussi un éditeur d'équation qui est accepté sur ce forum si quelqu'un peut m'éclairer cela m'aiderait ?

    Voilà ce que j’ai commencé à faire :

    1-Initilaisation

    V(1)= 1

    Donc
    |V(1)-a|《(1/a)^(n-1)*|V(1)-a|

    est vraie au rang 1

    2- On suppose vraie

    |V(n)-a|《(1/a)^(n-1)*|V(1)-a|

    3- On démontre que cette propriété est vraie au rang n+1

    On sait que

    V(n+1)-a=1/(V(n)*a)*(a-V(n))

    <--> V(n)=(a-V(n))/((V(n+1)-a)*a)

    Et on sait aussi que V(n) ⩾1

    Donc

    V(n) ⩾1

     (a-V(n))/((V(n+1)-a)*a)    ⩾1

    a-V(n)⩾(V(n+1)-a)*a

    (a-V(n))/a⩾ V(n+1)-a

    On reprend la propriété supposée vraie dans la partie 2-

     |V(n)-a|《(1/a)^(n-1)*|V(1)-a|

    (-1)*(1/a)^(n-1)*|V(1)-a|《V(n)-a《(1/a)^(n-1)*|V(1)-a|

    (1/a)^(n-1)*|V(1)-a|⩾V(n)-a⩾(-1)*(1/a)^(n-1)*|V(1)-a|

    (1/a)^(n)*|V(1)-a|⩾(V(n)-a)/a⩾(-1)*(1/a)^(n)*|V(1)-a|

    On utilise cette forme dans la formule précédente

    (1/a)^(n)*|V(1)-a|⩾ V(n+1)-a

    Ici j’ai montré une partie de l’encadrement pour pouvoir avoir la valeur absolue de |V(n+1)-a| .

    Il faut encore que je montre que

    V(n+1)-a ⩾(-1)*(1/a)^(n)*|V(1)-a|

    Et c’est à ce moment que je me retrouve bloqué, il me faudrait une autre inégalité mais je ne voie pas laquelle.

    Pouvez-vous me donner un autre indice ?

    Cordialement.

  • Modifié (6 Jan)
    Bonsoir.
    Tu peux faire le même calcul en raisonnant directement sur les valeurs absolues :
    $ | V(n+1)-a|=1/(V(n)*a)*|a-V(n)| \le 1/a*|a-V(n)|$ puisque $V(n)\ge 1$.
    Et tu n'as plus qu'à utiliser l'hypothèse de récurrence ...

    Pour un éditeur d'équation, tu peux utiliser le LaTeX intégré (utilise "Citer" pour voir comment j'ai écrit mon calcul).
    Cordialement.
  • Bonsoir 
    Merci pour votre réponse cela m'a bien aidé. J'aimerais juste vous demander, comment avez-vous pensé à utiliser la récurrence ?
    Maintenant j'ai un nouveau problème 
    Je suis bloqué sur un exercice, l'énoncé est:
    Donner une démonstration abrégée de l'égalité suivante:
    1+1/(1+1/(1+...))= √(1+√(1+...))
    J'ai exprimé dans un premier temps les deux termes de l'égalité de cette façon 
    A=1+a avec a=1/(1+a)
    B=√(1+b) avec b=√(1+b)
    J'ai aussi remarqué en partant de a=1/(1+a) et  b=√(1+b) que l'on avait a²+a-1=0 et b²-b-1=0
    Ce qui permet d'établir la relation a²+a-1=b²-b-1.
    Malgré ces observations je n'arrive pas à trouver une méthode, une piste me permettant de résoudre ce problème.
    Si quelqu'un a une piste à me proposer je suis preneur.
    Coordialement.

  • Modifié (14 Jan)
    Bonsoir.
    "comment avez-vous pensé à utiliser la récurrence ?" Je te retourne la question : "Pourquoi n'as-tu pas pensé à utiliser la récurrence ?" IL y avait tout ce qu'il fallait, une formule à démontrer dépendant de n et en utilisant une formule qui lie n et n+1.
    Pour ton nouveau problème, les notations avec des ... n'ont pas de sens mathématique en général. Quand elles en ont, il est possible de définir les objets comme des limites de suites récurrentes. C'est ton premier travail. Trouve deux suites dont l'une est de terme général 1/(1+1/(1+ ...+1)..))) et l'autre √(1+√(1+... + √(1+√1)... ))).
    Finalement, tous ces exercices sont justement sur la récurrence !
    Cordialement.
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