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Opérateur différentiel

Bonjour
Soit $D_x=(-i\partial_{x_1},-i\partial_{x_2},\cdots,-i\partial_{x_n})$
J'aimerais savoir à qui correspond l'opérateur $|D_x|$.
Merci.

Réponses

  • En général on note $|A| = \sqrt{AA^*}$.
  • Si l'on parle de fonction définies sur $\mathbb R^n$, on peut définir les choses par transformée de Fourier.

    Si $f$ est, par exemple, dans la classe de Schwartz $\mathcal S(\mathbb R^d)$, et que la transformée de Fourier de $f$ est définie par
    $$
    \hat f(\xi) = \int_{\mathbb R^n} f(x)\exp(-2 i\pi x\cdot \xi) d x.

    $$ La formule d'inversion de Fourier donne :
    $$
    f(x) = \int_{\mathbb R^n} \hat f(\xi)\exp(2 i\pi x\cdot \xi) d \xi.

    $$ Après intégration par parties, on a (transformation des dérivation en $x$ par des multiplications par $-2i\pi \xi$) :
    \begin{align*}
    D_x f(x) &= \int_{\mathbb R^n} 2\pi\xi \hat f(\xi)\exp(2 i\pi x\cdot \xi) d \xi\qquad
    \\
    \Delta f(x) &= -\int_{\mathbb R^n} (2\pi|\xi|)^2 \hat f(\xi)\exp(2 i\pi x\cdot \xi) d .

    \end{align*} On note alors symboliquement $|D_x|f$ ou même $\sqrt{-\Delta}f $ :
    $$
    (|D_x|f)(x) = (\sqrt{-\Delta}f)(x) = \int_{\mathbb R^n} 2\pi|\xi| \hat f(\xi)\exp(2 i\pi x\cdot \xi) d \xi. $$
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