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Somme directe des sous-espaces propres

Bonjour, il y a quelques jours, on m'a fait remarqué que bien que les sous-espaces propres d'un endomorphisme soient toujours en somme directe, la somme n'est pas forcément égale à l'espace.
Mais alors à quoi ce théorème sert-il si on ne peut pas l'utiliser pour engendrer des éléments de l'espace ?
En particulier, dans le cas où l'endomorphisme n'est pas diagonalisable (sinon on peut étendre ce théorème à la somme étant égale à l'espace).

Merci d'avance.

Réponses

  • Il permet de montrer facilement que certaines familles de vecteurs sont libres par exemple.
  • Pour compléter les propos de JLapin:

    Si tu concatènes des familles libres issues de sous-espaces propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes, tu obtiens une famille libre dans l'espace vectoriel considéré.
    Tu auras remarqué qu'en toute généralité, concaténer des familles libres n'amène pas nécessairement une famille libre.
  • Merci pour vos réponses !
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