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Exercice éléments propres

Bonjour, je suis sur un petit exercice sur lequel on prend $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\R$. On prend $u$ l'application qui à $f \in E$ associe la fonction $F$ définie sur $]0,1]$ par $F(x) = \frac{1}{x} \int_0^x f(t)dt$ et $F(0) = f(0)$. On demande de déterminer les éléments propres de $u$.

D'abord, j'ai montré que $u$ est bien un endomorphisme de $E$ en vérifiant la continuité en $0$.
Ensuite, j'ai montre que si $f$ est un vecteur propre de $u$ associé à $\lambda \neq 0$, $f$ vérifie l'équation différentielle sur $]0,1]$ suivante : $$\lambda x f'(x) + (\lambda-1)f(x) = 0$$ ce qui donne que $f \in V_{\lambda} = < x \mapsto x^{\frac{1}{\lambda}-1} >$.
Réciproquement, soit $\lambda \neq 0$ et $f \in V_{\lambda}$. Alors, $\exists A \in \R, f = A x^{\frac{1}{\lambda}-1}$. Vérifions que $f$ est bien vecteur propre de $u$ : $$\forall x \in ]0,1], u(f)(x) = \frac{A}{x} \int_0^x t^{\frac{1}{\lambda}-1} dt = \frac{A}{x} \frac{x^{\frac{1}{\lambda}-1+1}}{\frac{1}{\lambda}-1 +1} = \lambda f(x)$$ Ainsi $f$ est bien vecteur propre de $u$ mais il n'est pas associé à $\lambda$ mais à $\lambda'$.
Ainsi je n'arrive pas trop à définir les éléments propre de $u$... Les $f$ dans $V_{\lambda}$ sont bien des vecteurs propres mais ils ne sont plus associés à $\lambda$.
De même, je ne vois pas bien les valeurs propres.

Réponses

  • Bizarre, ce -1+1 pas simplifié !

    Cordialement.
  • Oups, j'ai modifié, merci. Donc pour que $f$ soit vecteur propre de $u$ associé à $\lambda$, il faut que $A = 1$, autrement dit que $f = x \mapsto x^{\frac{1}{\lambda}-1}$.
    Mais je n'arrive toujours pas à définir les éléments propres...
    On s'est donné un $\lambda$ quelconque (pour continuité, $\lambda \in ]0,1]$, donc le spectre est $]0,1]$ puisque $f = x \mapsto x^{\frac{1}{\lambda}-1}$ convient.
    Mais les vecteurs propres, ce sont les fonctions dans $V_{\lambda}$ pour $\lambda \in ]0,1]$ ?
  • Bonjour,

    Vous semblez avoir oublié que $f(x) = Ax^{\frac{1}{\lambda} - 1}$, donc le calcul de votre premier message donne en fait $u(f)(x) = \lambda f(x)$.

    Mais est-ce que $f: [0, 1] \to \mathbb R, x \mapsto x^{\frac{1}{\lambda} - 1}$ est toujours dans $E$ ?
  • Ah oui pardon. Donc c'est bon. Oui pour la continuité, il faut que $0 < \lambda \leq 1$.

    Donc $Sp(u) = ]0,1]$ et les vecteurs propres sont les fonctions dans $V_{\lambda}$ pour $\lambda \in ]0,1]$ ?
  • Je suis d'accord !
  • Merci beaucoup.
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