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Somme des entiers

Bonjour,

Comment prouver que la moyenne de $1, 2, ..., n$ est $(n+1)/2$, de façon à pouvoir écrire $1 + 2 + ... + n = n.(n+1)/2$ sans qu'il y ait raisonnement circulaire ?

A+

Réponses

  • Par « associativité du barycentre » : la moyenne de $1$ et $n$, de $2$ et $n-1$, etc. est $(n+1)/2$ donc la moyenne de tous ces nombres, qui est la moyenne des moyennes, est aussi $(n+1)/2$ ? Ce n'est bien sûr qu'une resucée de l'argument classique.
  • On écrit tous les nombres de 1 à n sur une première rangée, du plus petit au plus grand.
    Puis on écrit à nouveau tous les nombres de 1 à n sur une 2ème rangée, mais du plus grand au plus petit.
    Sur chaque colonne, on a une somme de n+1
    Et on a n colonnes. Donc la somme de tout ça est n*(n+1).
    Donc dans chaque ligne,la somme est n(n+1)/2, et donc la moyenne des termes de chaque ligne est (n+1)/2
  • Si $P = \frac{1}{2}X(X-1)$, alors $P(k+1)-P(k) = k$, d'où
    $$\sum_{k=1}^n k = P(n+1)-P(1) = \frac{n(n+1)}{2}.$$
  • RE

    Je cherche une preuve autre qu'une resucée de la preuve classique (dixit Math Coss).
    Sans aller chercher les barycentres ou l'astuce de Gauss, pourquoi la moyenne d'un ensemble d'entiers consécutifs est-elle la demi-somme des extrêmes ?

    A+
  • Parce que c’est la moyenne de chaque paire idoine ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • C’est la linéarité de la moyenne, comme dit plusieurs fois.
  • La même méthode s'applique pour trouver la somme des nombres éléments d'un ensemble $E$, de cardinal $n$, pour lequel il existe une constante $c$ telle que : $\forall x \in E, c-x \in E$.
    Par exemple : somme des nombres de $9$ chiffres en base $\textrm{dix}=9+1$, s'écrivant chacun avec tous les chiffres de $ 1$ à $9$, chaque chiffre pris une fois dans chacun des nombres, par exemple $528~947~631$, qui sont au nombre de $9!$.
  • RE

    On peut le prouver par récurrence :
    -- moyenne de $\{1, 2\} = (1+2)/2$
    -- si moyenne de $\{1, ..., n\} = (1+n)/2$, alors
    moyenne de $\{1, ..., n, n+1\} = (n.(n+1)/2 + (n+1))/(n+1) = (n+2)/2 = ((n+1) + 1)/2$.

    A+
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