Fonction à plusieurs variables — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Fonction à plusieurs variables

Bonjour à tous
Voici mon exercice.

Soit f : IR³ --> IR une fonction s'annulant en (0,0,0) et dont on connaît le développement limité d'ordre 2 centré en ce point. Quel est le développement limité centré à l'origine de la fonction (x,y,z) |--> exp(xy).f(x,y,z)

Je n'arrive pas à démarrer cet exercice, est-ce que quelqu'un pourrait m'aider. Merci à vous.

Réponses

  • Si l'exercice était en une seule variable saurais-tu comment faire (passer du dl de f(x) à celui de exp(x)f(x)) ?
  • et bien je ferais (1+x+x²+o(x²))*DL(f) mais ma réponse ne me semble pas satisfaisante...
    Merci à vous.
  • En traduisant simplement, si $g$ est la fonction qu'on veut on a que
    $$g(x+h,y+k,z+l)=e^{xy}\big(1 + yh + xk + \frac{1}{2} y^{2}h^{2} + \frac{1}{2} x^{2}k^{2} + (1 + xy)hk\big) + O(||h,k,l||^{3})\times \\
    \qquad \times\big(f(x,y,z) + a_{1}h + a_{2}k + a_{3}l + b_{1,1}h^{2} + b_{1,2}hk + \cdots+ b_{3,3}l^{2} + O(||h,k,l||^{3})\big).

    $$ Et on a un "vrai" produit à manipuler (les $o$ ou $O$ peuvent être écrits autrement si on y voit des notations effrayantes).
    (Je me suis pris à vouloir faire les calculs parce que ça faisait un moment que je ne m'étais pas entraîné à ça, désolé.
    Il y a une notation compacte pour les termes d'ordre 2 de la parenthèse de droite au fait ?).
    Personnellement je préférerais quand même calculer directement les dérivées de $g$.

    Edit : merci beaucoup AD
  • Si j'applique la formule de Taylor à l'ordre 2 pour la fonction (x,y,z) |--> exp(xy) en le point (0,0,0) je trouve 0. J'aurais donc un résultat nul pour le développement limité demandé. Je pense que j'ai du faire une erreur...
  • J'avais oublié qu'on était en 0 spécifiquement.
    Mais le DL en 0 de exp(xy) n'est heureusement pas 0 (ou plutôt 1 comme je pense que tu voulais le dire).
  • Oui merci beaucoup, j'ai le même développement que toi sauf le 1 dans la parenthèse (1+ xy)hk: de mon côté j'ai seulement xyhk.
    Pour le deuxième développement puis-je garder DL(f) et dire que le résultat demandé est encore DL(f) ?
  • RLC, tu aurais pu supposer $x=y=0$ dans ce calcul. La justification de ce qu'il reste (très peu de termes !) vient du DL à l'ordre $1$ de l'exponentielle en $0$, dans lequel on substitue simplement $xy$ à la variable.
  • Oui, j'avais oublié que le problème était seulement en 0.
    Pour le 1 + xy on a bien en dérivant en x puis en y une somme qui doit apparaître quelque part à cause du produit dans yexp(xy).

    Et donc ce n'est pas simplement le dl de f qui reste.
  • Oui bien sûr, désolé, donc il devrait rester (hk+1+ o||(h,k,l)||³). DL(f)
  • Merci encore ;-)
  • Attention, si on veut du cube c'est un grand O, si on veut un petit o c'est seulement du carré.
    Enfin, ici non puisque visiblement les dérivées suivantes seront nulles mais c'est pour s'assurer qu'il n'y ait pas de confusion.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!