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Inéquation et dérivée

Bonjour
je me posais une question sur les conditions nécessaires et suffisantes pour que
$$
f(x) \geq g(x) \text{ sur }\ I\ \Longrightarrow\ f'(x) \geq g'(x) \text{ sur }\ I.

$$ Cordialement.

Réponses

  • Par de dérivée de $f$ ?
  • pardon je corrige
  • Euhhhh , tu te poses de drôles de questions.

    La question que tu te poses, c'est :
    Que faut-il ajouter à la place des ... pour que cette affirmation devienne vraie :

    si pour tout x, $f(x) \ge g(x)$ et si .... alors pour tout $x f'(x) \ge g'(x)$.

    Voici une proposition :
    si pour tout $x, \ f(x) \ge g(x)$ et si pour tout $x,\ f(x) \le g(x)$ alors pour tout $x,\ f'(x) \ge g'(x)$.

    On peut en trouver plein d'autres. Mais elles seront toutes aussi triviales/stupides...
  • Je sais que c'est faux en général et je dois admettre que cette question bizarre m'est venue en tête pour je ne sais quelle raison.

    Par ailleurs, j'ai bien aimé votre réponse mais il doit quand même [y] avoir un peu mieux, peut-être en rajoutant des hypothèses de convexité.
  • Cela reste faux avec $f$ et $g$ convexes.
  • Un exemple (pas très passionnant) d'hypothèses qui donnent ton implication:

    Soit $f, g$ de classe $C^1$ sur un intervalle $[a,b]$ telles que l'ensemble $\{x\mid f(x)=g(x) \}$ soit dense dans $[a,b]$.

    Alors $\left ( f(x) \geqslant g(x) \text{ pour tout }x \in [a,b] \right)\quad\Longrightarrow\quad\left (f'(x) \geqslant g'(x) \text{ pour tout }x \in [a,b] \right)$

    Edit : bon, mon exemple est totalement idiot car l'hypothèse $\{x\mid f(x)=g(x) \}$ dense dans $[a,b]$ et $f, g$ continues entraîne que $f(x)=g(x)$ sur $[a,b]$.
  • Peut-être un truc du genre $f-g$ convexe permet d'avancer un peu. Mais de toutes façons, les propositions qui marcheront, ça restera des trivialités.

    Exemple de trivialité :
    Si $f$ et $g$ sont dérivables.
    Si pour tout $x,\ f(x) \ge g(x) $ et si $f-g$ est croissante, alors pour tout $x,\ f'(x) \ge g'(x)$.
  • @Blueberry : Ta réponse est sarcastique ?
  • Quitte à poser $h = f - g$, ça revient à chercher des conditions pour que $h \geq0 \implies h' \geq 0$ (sur $I$).

    Voici une condition nécessaire et suffisante : il existe une fonction $a : I \to \R_+$ telle que $h' = a h$.
  • Poirot a écrit:
    @Blueberry : Ta réponse est sarcastique ?

    Non, même pas c'était une ânerie .....
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