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Système de deux équations à deux inconnues

Bonjour à toutes et à tous,
J'espère que vous vous portez bien.

Je cherchais à résoudre le système suivant en trouvant les couples $(x,y)$ satisfaisant :
\begin{align}
12x + 16y &= 20 \tag{1} \\
9x + 12y &= 10 \tag2

\end{align} J'ai trouvé : $S = \{(x,\frac{-3}{4}x),\mid x \in \mathbb{R}\}$, ce qui représente, dans un plan, une droite.

Néanmoins, dans la résolution, en multipliant l'égalité $(2)$ par $2$, on obtient $18x + 24y = 20$ et en faisant $2\times(2) - (1)$, on obtient :
$6x + 8y = 0$, soit :
$3x + 4y = 0$, ou :
$-3x = 4y$ ou encore :
$\frac{-3}{4}x = y\qquad (3)$. Jusque là tout va bien et l'on peut dire que l'on a résolu le système.

Or, en remplaçant dans $(2)$ le terme $y$ par $\frac{-3}{4}x$, on obtient :
$9x + 12y = 9x + 12 (\frac{-3}{4}x) = 9x - 9x = 0x = 10$.

Comment cela se fait ?
Où est mon erreur ?
Merci d'avance à toutes et à tous,
Mohammed R.

Réponses

  • Peut-être n'y a-t-il aucune erreur...
  • La solution que tu proposes (l’ensemble $S$) ne fonctionne pas.
    Par exemple pour $x=0$.
  • Je précise ma réponse un peu cryptique.

    Tu as un système de deux équations de droite dans le plan.

    La première est $x + \dfrac{4y}{3} = \dfrac{20}{12}$. La deuxième est $x + \dfrac{4y}{3} = \dfrac{10}{9}$.

    Elles sont donc parallèles, il ne peut y avoir d'intersection que si $\dfrac{20}{12} = \dfrac{10}{9}$, ce qui est faux. Donc ce n'est pas étonnant que tu aies trouvé que ta solution déconne.
  • Oui merci Dom, je m'en suis rendu compte juste après avoir posté.

    Homo Topi, il n'y a donc aucune solution ?
  • Ben non. Ce sont deux droites parallèles distinctes, dessine-les sur GeoGebra.

    Ou bien regarde-les comme des graphes de fonctions affines, où $y$ est $f(x)$.

    Les fonctions $f(x) = ax + b$ et $g(x)=ax+ c$ n'ont une intersection que si $b=c$, auquel cas leur intersection, c'est tout le monde.
  • Autre moyen de le voir : on multiplie la première ligne par $3/4$.
    On voit alors que ce n’est pas possible d’avoir de tels $x$ et $y$.

    Cela dit, peut-être faut-il se remettre proprement à la résolution de systèmes ?
  • D'accord merci à tous les deux !
    Dom, je m'entraînais sur :128450
  • Dom a écrit:
    Cela dit, peut-être faut-il se remettre proprement à la résolution de systèmes ?
    Oui je suis tout à fait d'accord d'autant que je n'ai pas eu de cours dessus au lycée.

    Merci encore,
    Mohammed R.
  • Il y a une théorie avec l’algèbre linéaire.
    Mais les méthodes classiques du lycée (années 90 en 2nde) fonctionnent bien.
    Comme pour les équations, on transforme le système en un système équivalent à chaque étape.
    Avec deux équations (deux lignes, donc) on peut rappeler la règle d’or.

    Quel que soit le réel $\alpha$, le système « $L_1$ et $L_2$ » est équivalent au système « $L_1$ et $L_2+\alpha L_1$ ».

    En pratique, si l’on veut faire du pas à pas, on commence par multiplier l’une, l’autre ou les deux lignes par ce qu’il faut (de non nul) pour rendre égal le coefficient de l’une des inconnues dans chaque ligne. Puis on considère le système (équivalent, donc) constitué de l’une des lignes et de la différence des deux lignes.

    Tout ça, ce sont des mots… au boulot !
  • Pour détailler une rédaction possible pour une résolution :

    $\left\{ \begin{array}{} 12x &+& 16y & = & 20 \\ 9x &+& 12y & = & 10 \end{array}\right.$
    $\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{} 6x &+& 8y & = & 10 & L_1 \leftarrow \frac{1}{2}L_1\\ 9x &+& 12y & = & 10 &\end{array}\right.$
    $\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{} 6x &+& 8y & = & 10 & \\ 9x &+& 12y & = & 6x + 8y & \text{substitution}\end{array}\right.$
    $\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{} 3x &+& 4y & = & 5 & L_1 \leftarrow \frac{1}{2}L_1\\ 3x &+& 4y & = & 0 & \end{array}\right.$
    $\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{} && 0 & = & 5 & L_1 \leftarrow L_1 - L2\\ 3x &+& 4y & = & 0 & \end{array}\right.$
    $\Longleftrightarrow (x,y) \in \varnothing$ car $5=0$ est absurde.
  • Bonsoir, Mohammed R.
    Le mieux pour un système linéaire de deux équations à deux inconnues, c'est la résolution par déterminants, qui donne la solution immédiatement... Autrefois on voyait ça en Troisième et ça ne présente aucune difficulté.
    Attention je ne dis pas qu'il faut faire intervenir la théorie générale des déterminants, mais pour le cas $2 \times 2$, c'est le mieux.
    Bon courage.
    Fr. Ch.
  • Une remarque : c’est rare que l’on substitue même si l’on a le droit (vérifier l’équivalence).

    Chaurien,
    Cela est efficace, c’est vrai, mais il me semble que très peu de gens savent ce qu’ils font quand ils utilisent des déterminants.
    Pour se faire la main, je ne pense pas que ce soit pertinent.
  • J'explique .
    Définition d'un déterminant $2\times 2$ : $\left\vert
    \begin{array}{cc}
    a & c \\
    b & d%
    \end{array}%
    \right\vert =ad-bc$.
    Soit le système : $\left\{ \begin{array}{} ax + by = c \\ a'x+ b'y = c' \end{array}\right.$
    Le déterminant du système est par définition : $\left\vert
    \begin{array}{cc}
    a & b \\
    a^{\prime } & b^{\prime }%
    \end{array}%
    \right\vert =ab^{\prime }-a^{\prime }b$.
    Les coefficients sont dans la même disposition que dans le système.

    $\bullet$ Premier cas. Si $\left\vert
    \begin{array}{cc}
    a & b \\
    a^{\prime } & b^{\prime }%
    \end{array}%
    \right\vert \neq 0$, alors le système a une solution unique. On dit que c'est un système de Cramer.
    Cette solution est donnée par les formules de Cramer :
    $x=\frac{\left\vert
    \begin{array}{cc}
    c & b \\
    c^{\prime } & b^{\prime }%
    \end{array}%
    \right\vert }{\left\vert
    \begin{array}{cc}
    a & b \\
    a^{\prime } & b^{\prime }%
    \end{array}%
    \right\vert }=\frac{cb^{\prime }-c^{\prime }b}{ab^{\prime }-a^{\prime }b}$, $%
    y=\frac{\left\vert
    \begin{array}{cc}
    a & c \\
    a^{\prime } & c^{\prime }%
    \end{array}%
    \right\vert }{\left\vert
    \begin{array}{cc}
    a & b \\
    a^{\prime } & b^{\prime }%
    \end{array}%
    \right\vert }=\frac{ac^{\prime }-a^{\prime }c}{ab^{\prime }-a^{\prime }b}$.
    Formules faciles à retenir sous la forme du quotient de déterminants : au numérateur, on remplace la colonne des coefficients de l'inconnue par la colonne des coefficients du second membre.

    $\bullet $ Second cas. Si $\left\vert
    \begin{array}{cc}
    a & b \\
    a^{\prime } & b^{\prime }%
    \end{array}%
    \right\vert =0$, supposons par exemple $a\neq 0$ et $b\neq 0$ (sinon ça se fait a la main).
    Alors $\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}$. Soit $\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\mu $.
    Si $c' \neq \mu c$, le système est impossible.
    Si $ c' =\mu c$, le système est équivalent à la seule équation $ax+by=c$.

    Ce n'est pas difficile, et c'est facile à mémoriser. J'enseignais ça en Troisième il y a plus de quarante ans. Par la suite, ce sera d'une grande utilité pour les matrices $2 \times 2$. Dites-moi si ça vous convient.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Je précise que je suis un adepte de la méthode du pivot, et que je fondais dessus tout mon cours d'algèbre linéaire, depuis que je l'avais découverte dans le traité d'Hoffman et Kunze, Linear Algebra, 1971, que m'avait signalé Thierry Guitard dans les années 1980. J'en ai parlé plusieurs fois sur ce forum.
    Mais pour un système $2\times 2$, on peut voir dans mon précédent message que l'utilisation des déterminants est bien plus efficace.
  • Personnellement, je trouve ça moins bien. Mais comme c'est un peu hors-sujet et que je n'ai pas envie d'être traité de pédagogo, je pense garder mes arguments pour moi. Au pire, on peut discuter de ça en privé, peut-être.
  • On peut faire le cours « cas général 2x2 » juste avec le pivot.
    Tiens, ça fait un bon exercice, Mohammed R, non ? Traiter tout de suite le cas général.
    On peut même éviter tant que possible des divisions et des fâcheux dénominateurs effrayants.

    Cramer est un résultat théorique (dont je ne dis pas qu’il est à écarter).
    Remarque hors-sujet : de mémoire, c’est d’une complicité algorithmique lourde (bon… en dimension 2… ça passe…).
  • Bonjour,

    je faisais la même chose que Chaurien en 2nde, il y a bien longtemps maintenant, des déterminants pour les $2\times 2$, puis du pivot pour quelques $3\times 3$ et pour quelques très rares $4\times 4$ certaines années.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Attention, je suis de ceux qui contestent et refusent radicalement le pédagogisme, dont je ne rappellerai pas ici la définition. Mais le souci de trouver les meilleures méthodes pour expliquer les notions mathématiques, autrement dit la pédagogie, ceci ne me semble pas devoir être critiqué. Homo Topi, tu ne devrais pas te censurer, et tu pourrais exposer librement tes arguments.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Je précise que je n'ai aucune idée du bagage mathématique qu'avait un élève de 3ème il y a 40 ans. Moi, j'étais en 3ème en 2005.

    Un sysème $2 \times 2$, ce sont deux équations qu'on veut résoudre "en même temps". Pour ça, il faut déjà savoir résoudre une équation à une seule variable, donc d'avoir appris certaines manipulations d'égalités (en gros, de les comprendre comme des balances de cuisine) : ajouter la même quantité des deux côtés, multiplier des deux côtés par la même constante, "retourner" l'équation en l'écrivant dans l'autre sens... les seuls trucs qui s'ajoutent pour un système $2 \times 2$, c'est de substituer une inconnue ou une ligne par l'information donnée par l'autre ligne. Pour moi, l'essentiel de ma rédaction repose sur ça : on fait des substitutions du style : le système "$a=b$ et $b=c$" est équivalent au système "$a=c$ et $b=c$", ça ne repose que sur la transitivité de l'égalité, qui doit fondamentalement être comprise depuis longtemps (mais il faut admettre que souvent, elle ne l'est pas, alors que les élèves écrivent des chaînes d'égalités depuis très longtemps quand ils sont en 3ème).

    Tout ça pour dire que la méthode "classique" sans déterminants pour résoudre un système $2 \times 2$ est simple dans le sens où elle ne nécessite l'introduction d'aucun nouvel outil. Je dis bien nécessite.

    Je fais l'avocat du diable (en l'occurrence : diable = élève paumé) face à la méthode de Chaurien. Il y a une nouvelle notion (le déterminant) et une nouvelle notation (celle du déterminant entre deux barres). Les élèves doivent s'approprier ça avant de pouvoir s'en servir. Les formules de Cramer, telles qu'exposées dans le messages de Chaurien, sortent "de nulle part" (mais j'ose partir du principe qu'évidemment, il les démontrait dans son cours) et doivent être comprises. Mais c'est une méthode mécanique ("là, on remplace ça par ça, et ça va marcher") que les élèves doivent être capables de déconstruire, j'ai des doutes sur le fait que la plupart y arrivent. Je penseque beaucoup, s'ils arrivent à retenir la méthode, l'appliquent sans réfléchir parce qu'on leur a dit que ça marche, et c'est précisément le fait de "faire sans comprendre pourquoi ça marche" qui précipite le décrochage de beaucoup d'élèves (qui se constaterait, pour le coup, l'année suivante seulement, donc on peut avoir l'impression que ça va alors qu'en fait, ça commence à ne pas aller). En plus, il y a une distinction de cas à faire.

    Dans ma méthode, celle "classique", à chaque étape l'élève a les deux équations sous les yeux et voit les opérations qu'il a effectuées pour transformer le système en un système dont il "sait" (est censé avoir compris, au moins) qu'il a les mêmes solutions. Pédagogiquement, je trouve ça beaucoup mieux. Plus clair, pas d'outil "non nécessaire" introduit, plus lisible et compréhensible. L'apprentissage se fait mieux quand l'élève rattache du nouveau à du déjà connu, et moins il y a de nouveau, plus c'est simple. Si le nouveau n'est pas "nécessaire", je ne vois pas pourquoi obliger les élèves à passer par là. Si c'est juste une préférence du prof, il faut faire prendre conscience au prof que le plus important dans un cours, c'est l'élève.

    Puisqu'on parle de déterminants, je suppose que Chaurien a déjà vu le fameux article "Down with determinants !" de Sheldon Axler. Je ne suis pas formellement opposé au formalisme des déterminants, mais... quand même. Si le but est de "préparer" l'algèbre linéaire, je fonctionne également autrement là-dessus. Beaucoup de cours d'algèbre linéaire commencent par les matrices, et introduisent les applications linéaires par "soit $M$ une matrice, $x \longmapsto Mx$ est le prototype d'une application linéaire", je trouve ça très mauvais. Non seulement, c'est réducteur (ça focalise sur la dimension finie au lieu de s'en servir pour donner des exemples simples au début) mais ça induit beaucoup de gens en erreur, parce que $x \longmapsto Mx$ est en fait un abus de notation : à un $n$-uplet $x \in \R^n$, on n'associe pas "$Mx$" mais $y \in \R^n$ dont la matrice colonne est $Y=MX$ où $X$ est la matrice colonne de $x$, le tout dans deux bases fixées à l'avance (qui est la base canonique, certes, mais encore faut-il l'avoir expliqué, beaucoup de profs/cours passent trop rapidement sur ça ou pas du tout, et les bases ça vient après les applications linéaires dans un cours). Je préfère fonctionner en introduisant les espaces vectoriels et les applications linéaires de façon abstraite, en donnant des exemples de toutes sortes mais quand même en s'appuyant plus fortement sur la dimension finie quand c'est nécessaire d'avoir un exemple très simple et surtout visuel, puis montrer que les espaces de dimension finie ont des bases, se servir de ça pour décomposer l'image d'un $f(x)$ dans une base et montrer qu'on a une gigantesque combinaison linéaire qui peut se réarranger de façon pratique dans un tableau qui simplifie les calculs si on définit l'addition et la multiplication de tableaux convenablement (ça rend la définition de la multiplication de matrices un peu moins parachutée). Bref, tout ça pour dire que les matrices ne sont pas la finalité de l'algèbre linéaire, mais un outil très pratique en dimension finie. Les déterminants, ça vient encore après, donc entre les systèmes $2\times 2$ et l'algèbre linéaire en première année, il y a quand même un écart.

    On peut (et même, on doit) introduire les déterminants dans le supérieur, là ils ont un réel intérêt (quoiqu'on peut le limiter pour les raisons que donne Axler : on peut faire plein de choses sans, et ça améliore la compréhension de certaines choses). Mais vu tout ce qu'un élève de 3ème/2nde devrait encaisser pour se servir de déterminants, juste pour des systèmes $2 \times 2$ qui se résolvent très bien avec des outils qu'ils connaissent tous déjà, avec le prétexte "oui mais comme ça dans 3-4 ans quand ils feront de l'algèbre linéaire en sup ils l'auront déjà vu une fois" (sachant qu'entre temps, ils auront souvent oublié...), je ne suis pas convaincu que ce soit une bonne façon de faire.
  • Justement, Chaurien, dans ce cas précis, est-ce « la meilleure méthode pour expliquer cette notion mathématique » ?
    Je me demande même si le terme « enseigner » est le bon en parlant de cette méthode.
    Je m’explique : c’est une recette de cuisine (il en faut, je ne suis pas sectaire), et même dans ces années-là, les élèves comprenaient-ils ce qu’ils faisaient avec Cramer ?
    Ils savaient résoudre le système, ça oui, mais quelle « notion mathématique » venaient-ils de comprendre ?
    C’était dans les programmes (non ?) donc il fallait bien le faire.
    Mon message n’est pas une critique sévère mais un questionnement.
  • Je reviens sur la question initiale.
    Les plus fainéants sont obligés d'être très fûtés pour pouvoir s'en sortir. Et du coup, être fainéant peut avoir des avantages.

    Dans le première équation, les coefficients de x et de y sont tous les 2 divisibles par 4. Le fainéant n'aime pas manipuler des nombre inutilement élevés, il commence donc en simplifiant tout ça par 4 ; la 1ère équation devient : 3x+4y=5

    Et dans la 2ème équation, les coefficients de x et de y sont tous les 2 divisibles par 3. Le fainéant commence donc en simplifiant, il obtient pour cette 2ème équation : 3x+4y=10/3

    Et là, le fainéant voit tout de suite qu'il n'y a pas de solution à ce système.

    Ca revient à la multiplication par 3/4 proposée plus haut.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Bonjour
    Quand j'ai appris à résoudre ces systèmes en troisième, il y a plus de 40 ans, on m'avait bien dit qu'il y a avait trois méthodes possibles :
    - les combinaisons linéaires d'équation
    - les substitutions (on remplace y dans une équation par sa valeur dans l'autre)
    - les déterminants
    Et selon les cas, il était plus élégant d'utiliser telle ou telle méthode.
    (Le cas proposé est un cas où il suffit de multiplier par 3/4 la première équation, pour voir qu'il n'y a pas de solution)

    Cela ne posait pas de problème.

    Il est vrai qu'à l'époque on voyait également en troisième les équations du second degré et les barycentres.
    Cordialement
  • À mon avis, pour un système 2x2 la meilleure méthode est celle "par substitution", c'est la plus intuitive.
  • Ça dépend pour quel élève.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Mon argument principal est que je doute qu'il existe beaucoup d'élèves pour lesquels la méthode la mieux comprise est celle des déterminants. Et quand je dis "comprise", je veux bien dire "comprise", pas simplement retenue par coeur et appliquée correctement. S'il ne sait pas ressortir l'outil dans un contexte adjacent, ça n'a que très peu d'intérêt, et j'ose miser là-dessus pour presque tout élève.
  • Les déterminants, c’est de la magie.
    La substitution, c’est le plus simple à comprendre MAIS c’est difficile car aujourd’hui, « passer un nombre de l’autre côté du égal » n’est pas maîtrisé (et on voit n’importe quoi). « Isoler une lettre » n’est plus un jeu d’enfants.
    Les combinaisons, c’est simple à comprendre même s’il y a une part de « heu c’est bizarre de multiplier par un nombre des lignes et d’ajouter des lignes entre-elles  ». En effet, quel élève sait justifier que l’on a une structure (dans le dire comme ça) avec les lignes ? Je veux dire que là aussi, si on fouille, on a la plupart du temps « bah en fait je ne sais pas ce qu’on fait quand on ajoute des lignes ».
  • Dom, les problèmes que tu soulèves sont tous liés au manque de compréhension du signe $=$.

    Je me suis beaucoup battu pour que les élèves comprennent que ce symbole n'est pas un ornement graphique ou un séparateur, mais qu'il veut vraiment dire quelque chose. Oser lire une égalité de droite à gauche, utiliser une égalité dans une autre partie d'un problème, ne pas confondre égalité et équivalence... je ne sais pas d'où viennent ces difficultés, mais comme elles sont là, il faut absolument passer le temps nécessaire dessus. C'est trop fondamental pour ne pas fixer les idées pour chaque élève.
  • Dom a écrit:
    La substitution, c’est le plus simple à comprendre MAIS c’est difficile car aujourd’hui, « passer un nombre de l’autre côté du égal » n’est pas maîtrisé (et on voit n’importe quoi). « Isoler une lettre » n’est plus un jeu d’enfants.

    Sans compter que le symbole d’égalité n’est pas compris comme nous mais comme une action, ce qui est à droite est le résultat de ce qui est à gauche (en clair, ce que fait une calculette). La symétrie de l’égalité leur passe souvent au-dessus.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Oui, oui, Homo Topi et Nicolas, vous avez parfaitement raison.
    J’ajoute que la substitution est inélégante vis à vis des combinaisons. Mais c’est du sentiment, là.

    Ce symbole « = » est en effet un des symboles les plus utilisés mais « jamais » enseigné et étudié.
    Le définir, je ne sais pas le faire sans paraphraser ou utiliser un autre mot « le même », etc.
    Christophe disait « tout ce qui arrive à gauche arrive à droite », ou quelque chose de ressemblant avec ce verbe « arriver ». Je n’aime pas trop mais je comprends que chacun essaye de trouver une formule efficace.
  • @Mohammed
    Pour revenir au post du début:

    "Jusque là tout va bien et l'on peut dire que l'on a résolu le système."
    Non car c'est une implication et pas une équivalence.
    L'équation (3) n'est pas équivalente au système de départ.

    "Or, en remplaçant dans (2) le terme y par -34x, on obtient :
    9x+12y=9x+12(-34x)=9x-9x=0x=10."
    Là tu prends en compte l'équation qui manquait pour atteindre l'équivalence.

    "Comment cela se fait ?
    Où est mon erreur ?"
    Tu as fonctionné par implication et pas par équivalence.

    Homo Topi dans son post "Pour détailler une rédaction possible pour une résolution :" indique bien des équivalences entre les systèmes d'équation successifs.
  • Bonsoir et merci à toutes et à tous !
    Dom a écrit:
    On peut faire le cours « cas général 2x2 » juste avec le pivot.
    Tiens, ça fait un bon exercice, Mohammed R, non ? Traiter tout de suite le cas général.

    Comment ça ?

    Je dois essayer de décrire la méthode générale de résolution d'un système de deux équations à deux inconnues avec la méthode du pivot ?
  • Oui, je te suggère d’essayer.
    Tu as besoin de six lettres en plus de $x$ et $y$ pour écrire le système initial (2x2).
    Puis avec des combinaisons sur les lignes, tu essayes d’arriver à une conclusion.
  • Il semble que je me sois mal exprimé : j'ai mis la charrue avant les bœufs. Je reprends à l'endroit.
    Soit le système : $\left\{ \begin{array}{} ax + by = c \\ a'x+ b'y = c' \end{array}\right.$
    On peut supposer que les coefficients $a,b,a',b'$ ne sont pas tous nuls, sans quoi il n'y a rien à faire.
    Mettons que ce soit $a \neq 0$. On peut résoudre le système par substitution : $x= \frac1a(-by+c)$ implique : $\frac {a'}a (-by+c)+b'y=c'$, soit : $(ab'-ba')y=ac'-a'c$.

    $\bullet $ Si $ab'-ba' \neq 0 $, alors $y=\frac {ac'-a'c}{ab'-a'b}$, et donc $x= \frac1a(-by+c)=\frac {cb'-c'b}{ab'-a'b}$.
    Le système a une solution unique, on l'appelle système de Cramer, et les formules donnant ces solutions sont les formules de Cramer.
    On définit un déterminant $2 \times 2$ par : $\left\vert
    \begin{array}{cc}
    a & c \\
    b & d%
    \end{array}%
    \right\vert =ad-bc$.
    Alors les formules de Cramer prennent l'expression : $x=\frac{\left\vert
    \begin{array}{cc}
    c & b \\
    c^{\prime } & b^{\prime }%
    \end{array}%
    \right\vert }{\left\vert
    \begin{array}{cc}
    a & b \\
    a^{\prime } & b^{\prime }%
    \end{array}%
    \right\vert }$, $y=\frac{\left\vert
    \begin{array}{cc}
    a & c \\
    a^{\prime } & c^{\prime }%
    \end{array}%
    \right\vert }{\left\vert
    \begin{array}{cc}
    a & b \\
    a^{\prime } & b^{\prime }%
    \end{array}%
    \right\vert }$.
    C'est tout, pas de théorie générale des déterminants, juste une convention d’écriture. Ces formules de Cramer avec déterminants permettent de mémoriser facilement la solution, comme j'ai dit dans mon précédent message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2324360,2324484#msg-2324484.

    $\bullet $ Si $ab'-ba' = 0 $, soit $\mu=\frac {a'}a$, alors $b'=\mu b$, et la deuxième équation s'écrit : $\mu (ax+by)=c'$.
    Si $c' \neq \mu c$, alors le système est impossible.
    Si $c' = \mu c$, alors le système est équivalent à la première équation.

    Le nombre $\left\vert
    \begin{array}{cc}
    a & b \\
    a' & b'%
    \end{array}%
    \right\vert =a b'-a'b$ est appelé déterminant du système, et sa nullité ou sa non-nullité permet de distinguer si le système a une solution unique ou non.

    On a résolu le système une fois pour toutes. Ceci sera très utile dans plusieurs situations : suites à récurrence linéaire d'ordre $2$ à coefficients constants, équations différentielles linéaires, calcul matriciel, etc.

    Peut-être est-ce trop difficile pour un élève arrivé en Troisième à l'ancienneté, comme cela se pratique aujourd'hui, paraît-il, puisque certains racontent qu'il ne faut pas que les élèves redoublent, même s'ils ne sont pas au niveau requis pour suivre. Mais je pense que des jeunes comme Mohammed R peuvent comprendre, assimiler et mémoriser ceci. Pas besoin qu'ils perdent leur temps en résolvant de manière répétitive nombre de systèmes $2 \times 2$ en dix lignes chacun, mieux vaut qu'ils retiennent ces résultats et se tournent vers les applications.

    Bonne journée.
    Fr. Ch.
    04/11/2021
  • Si tu es en première (terminale ? Oublié désolé) la manière la plus simple et dans l'esprit de la spé maths d'il y a quelques années pour le cas des systèmes 2x2 est d'inverser la matrice je pense. C'est presque comme Chaurien procède.
    L'avantage est que ça t'incitera à mettre un pied dans les matrices, qui ne sont pas très compliquées à comprendre mais extrêmement importantes. Bien qu'on dise que les élèves de spé maths n'ont en théorie aucun avantage par rapport aux autres en prépa, je trouve que savoir manipuler le produit matriciel qui peut être un peu déroutant avant d'arriver en sup peut être une bonne chose de gagnée.

    Ça consiste donc à écrire le système sous la forme $AX = Y$, où $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $ et $X = \begin{pmatrix} x \\ x' \end{pmatrix}$, $Y = \begin{pmatrix} y \\ y' \end{pmatrix}$ sont des vecteurs colonnes.
    La solution existe et est unique si et seulement si $ad - bc \ne 0$, et dans ce cas $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$, puis $X = A^{-1}Y$.

    C'est un mélange entre la méthode générale (on inverse une matrice sans le dire quand on résout ce système quoi qu'on fasse), et les formules toutes faites à l'instar de celles que Chaurien a évoquées.
    On a peut-être un petit gain sur la mémoire (la formule de la matrice n'a qu'un déterminant, un échange de coordonnées et des signes qui changent) compensé par le calcul d'un produit matriciel (qui reste facile).
    Comprendre le point de vue matriciel en suivant un cours de ton choix est un bon exercice à mon avis. J'approuve Chaurien sur les formules en dimension 2, personne ne s'en privait dans ma prépa et elles simplifient bien la vie, donc utilise-les sans scrupules et si tu veux absolument t'entraîner aux systèmes linéaires attaque des 3x3, qui seront sans doute plus formateurs (car c'est là qu'on commence à faire des erreurs, puisque plus d'étapes).
  • Je connais (seulement) 2 méthodes pour résoudre les systèmes 2 équations/2 inconnues, ou 3 équations/3 inconnues.
    - la méthode par substitution. C'est simple, c'est très facile à comprendre. Un élève de 6ème pourrait même comprendre. Il n'y a aucun effort de mémoire. Et au fur et à mesure qu'on l'applique, à chaque étape du calcul, on peut parfaitement expliquer pourquoi cette méthode va nous mener au bon résultat.
    - la méthode avec les déterminants : C'est un peu comme une baguette magique. Il faut se rappeler de la formule magique (pas si compliquée), et en quelques manipulations, on a la réponse. Je saurais certainement retrouver pourquoi cette formule magique fonctionne, mais quand je m'en sers, je fais totalement confiance à ma mémoire. Et si ma mémoire me trahit, alors je vais donner une réponse fausse.

    Le bon sens dans un cas. La mémoire dans l'autre.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • La substitution est sans doute la meilleure. C'est juste que les systèmes 2x2 sont un bon prétexte pour attaquer les matrices niveau spé maths.
  • Tiens, lourrran, cela m’étonne que tu ne mentionnes pas les combinaisons (je veux bien que l’on ne dise pas « pivot de Gauss »).
    C’est plus ludique encore que la substitution…
  • Exact !

    Du coup, il y a les méthodes qu'on compte employer, celles qu'on a dans notre boite à outils. Et il y a cette méthode qu'on ne compte pas employer, on n'y pense pas a priori, mais cette méthode est si forte que dans certaines circonstances, elle nous saute à la figure.

    Très amusant, cet oubli.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • lourrran écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2324360,2325344#msg-2325344
    Les déterminants c'est une notion théorique, si tu essaies de prouver, en utilisant la formule du déterminant définie à partir des permutations, qu'un système 1000x1000 à coefficients réels à une solution unique tu risques fort de passer beaucoup de temps. Songe que les méthodes mathématiques pour faire des calculs de météo peuvent amener à résoudre des systèmes linéaires de 600 000 équations et autant d'inconnues et qu'en biologie les calculs de protéines amènent à résoudre des systèmes d'équations encore plus énormes qui nécessitent des super-calculateurs.
  • C'est amusant que Chaurien défende pour l'enseignement au collège la résolution d'un pauvre système d'équations 2x2 en utilisant des déterminants.
    C'est exactement ce qu'aimerait enseigner un "pédagogo" pour ce que je peux comprendre du sens donné généralement à ce mot dans ce forum: faire des mathématiques une accumulation de recettes de cuisine. 8-)

    Selon moi, il vaut mieux s'en tenir aux deux méthodes habituelles au collège: substitution, combinaison.
  • Chaurien a écrit:
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2324360,2324484#msg-2324484
    Ce n'est pas difficile, et c'est facile à mémoriser. J'enseignais ça en Troisième il y a plus de quarante ans. Par la suite, ce sera d'une grande utilité pour les matrices $2 \times 2$.
    Exact mais pour ce qui est des grandes matrices carrées (en météo on considère des matrices 600 000x600 000) vouloir utiliser la formule du déterminant utilisant les permutations pour les inverser c'est de la folie furieuse.
  • Bonjour,

    Personne n'a ici parlé d'utiliser les déterminants pour des grosses matrices, mais pour des matrices $2\times 2$ ou c'est aussi commode que les deux autres méthodes.
    A part des cas particuliers, si je veux résoudre un système $2\times 2$ de tête, j'utiliserai les déterminants.
    Si je veux résoudre un système $3\times 3$ ou $4\times 4$ sur le papier, j'utiliserai la méthode par addition (si on ne veux pas prononcer le mot Gauss).
    Au delà, je n'en parle pas au lycée, et si c'est pour moi, je tape $X=fsolve(A,B)$ sur un ordinateur.
    Je n'utilise jamais la substitution, sauf sur un système construit expressément pour ça.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonjour
    Il ne faut pas oublier le lien avec la géométrie. Cela peut se faire au collège.
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