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Inégalité de puissances de bases différentes

Bonjour à toutes et tous !
Y aurait-il une solution algébrique à une inégalité de la forme : $\quad a^b \leq b^c \quad $

Je suis sur un exercice comparant le temps d’exécution de deux algorithmes.
Le premier nécessite $8n^2$ étapes de calcul, et le second $64 n \log_2(n)$.
La question est : quelles sont les valeurs de $n$ pour lesquels le premier offre une meilleur performance que le second ?

J'ai essayé de me dépatouiller comme ci-dessous.
$8n^2 \leq 64 n\log_2(n) $
$n \leq 8 \log_2(n) $
$n \leq \log_2(n^8)$
$ 2^n \leq 2^{\log_2{n^8}}$
$ 2^n \leq n^8 $
Et là... Je sèche ?
Y a-t-il une possibilité de résolution "purement algébrique" ?
Ou bien n'y a-t-il d'autre choix que de sortir la calculatrice graphique ou encore de tester des valeurs, "par tâtonnement" ?  
Merci par avance pour vos lumières.

Réponses

  • Bonsoir mgris et bienvenue.

    Algébrique, je ne sais pas.

    Du côté de chez Lambert, peut-être ?

    Amicalement,

    e.v.
    À ta naissance, tu pleurais tout le temps et tout le monde souriait autour de toi. Fais en sorte qu'à ta mort, ce soit l'inverse. (Proverbe arabe)
  • bonsoir, pourquoi ne pas faire une simple étude de fonction?Ton inégalité correspond à $ \dfrac{\log n}{n} \geq \dfrac{\log 2}{8}$; et la fonction $x \to \dfrac{\log x}{x}$ admet un maximum facile à mettre en évidence.
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • ev a écrit:

    Gérard Lambert ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • « Lambert ?! Mais qui c’est ça, c’Lambert ??? »

    De Funès dans L’aile ou la cuisse
  • Dom
    Mais non Gérard Lambert, mon ancien voisin de HLM au premier qui est boulanger parce que l'université c'est pas pour les fils de prolos.

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Merci à tous pour vos réponses et suggestions / pistes.

    Je vais creuser tout ça :-)
  • Bonjour

    a et b sont réels forcément positifs mais il faudra distinguer c > 0 et c < 0

    la résolution graphique avec la fonction f définie par $f(x) = \frac{lnx}{x}$ pour x > 0
    préconisée par Gilles Benson est la plus simple

    alors que la solution purement algébrique est lourde

    Cordialement
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