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Somme d'arctangentes

Bonjour, je vous présente une formule concernant la somme des arctangentes. Comme d'habitude, je publie un résultat que j'ai trouvé et que je n'ai pas vu ailleurs.
$$
\arctan (n+1)+\arctan (1-n)+\arctan ({{n}^{2}}-n+1)+\arctan ({{n}^{2}}+n+1)=\pi .

$$ a+
Fibonacci.

Réponses

  • Bonjour,

    Qu’est $n$ ?
  • $$f(x)=\arctan (x+1)+\arctan (1-x)+\arctan ({{x}^{2}}-x+1)+\arctan ({{x}^{2}}+x+1)$$

    $f’(x)=0$ si je ne me suis pas trompé, donc $f$ est constante, en prenant la limite en $+\infty $ on a $\pi $
  • sage: f = atan(x+1)+atan(1-x)+atan(x^2-x+1)+atan(x^2+x+1)
    sage: diff(f,x).numerator()
    0
    sage: f.subs(x=0)
    pi
    
  • @Math Coss merci pour la vérification avec Sage.
  • YvesM écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2323478,2323492#msg-2323492
    Merci pour l'intervention, cela me parait évident mais j'aurais dû le préciser. J'ai trouvé la formule avec l'hypothèse n un entier positif. Mais je crois que la formule fonctionne aussi pour n négatif.
    Cordialement.
    Fibonacci.
  • etanche écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2323478,2323510#msg-2323510
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

    Salut, très intéressant, merci beaucoup.
    a+
    Fibonacci
  • \begin{align*}
    \arctan (a+2)&+\arctan (2-a)+\arctan ({{a}^{2}}+a+1)+\arctan ({{a}^{2}}-a+1)\\
    &+\arctan ({{a}^{2}}-3a+3)+\arctan ({{a}^{2}}+3a+3)=2\pi

    \end{align*} J'ai proposé la formule en pensant à $a$ comme un nombre naturel, mais il est possible que cela fonctionne même si $a$ est un entier négatif.
    a+
    Fibonacci

    PS ; nous sommes dans le domaine des mathématiques élémentaires mais j'avoue que je suis heureux quand je trouve des résultats (nouveaux pour moi) et je vois qu'ils sont corrects.
  • Ces égalités proviennent d'une même égalité valable pour tout $x$ réel : $\arctan (x+1)+\arctan ({{x}^{2}}+x+1)=\dfrac{\pi}2+\arctan (x)$ (*).

    On démontre cette égalité par dérivation ou bien directement en montrant que $\arctan (x+1)-\arctan (x)=\dfrac{\pi}2-\arctan ({{x}^{2}}+x+1)$ :
    les deux membres ont la même tangente, le premier est compris entre $0$ et $1$ (par l'égalité des accroissements finis) et le second est clairement compris entre $0$ et $\dfrac{\pi}2$.

    On obtient la première égalité donnée par Fibonacci en ajoutant (*) pour $x$ et pour $-x$.

    On obtient la seconde égalité donnée par Fibonacci en ajoutant (*) pour $x$, $-x$, $1+x$, $1-x$ et en simplifiant.
  • jandri
    Merci pour la réponse très précise et intéressante. J'ai d'abord suivi une autre procédure, puis nous sommes arrivés au même résultat.Si vous le souhaitez je peux vous envoyer ma démonstration en privé.
    a+
    Fibonacci

    P.S. J'utilise le correcteur automatique sinon j'oublie les accents mais il bascule automatiquement sur vous, ce qui est inhabituel pour moi.

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Je suis parti d'une formule que j'ai imaginée et qui, contrairement à celles connues pour la somme des arcatangenti, est valable quels que soient a et b (sans avoir à considérer si ab est supérieur ou inférieur à 1).
    Si dans la formule que j'ai obtenue je mets a + b = 1 j'obtiens les résultats présentés (plus ou moins avec la procédure présentée par Giandri) .

    $\arctan a+\arctan b=\arctan \frac{ab-1}{a+b}+\frac{\pi }{2}$

    Merci encore pour votre coopération
    a+

    Fibonacci
  • Les formules, si possible, doivent être belles.. Ce que je présente est correct mais il ne l'est pas.. Quel est votre avis là-dessus ?
    Merci .
    a+

    $\arctan ({{t}^{4}}-{{t}^{2}}-1)+\arctan ({{t}^{2}}-{{t}^{4}}+2)+\arctan ({{t}^{8}}-2{{t}^{6}}-2{{t}^{4}}+3{{t}^{2}}+3)=\frac{\pi }{2}$
  • Cette dernière formule s'obtient directement en posant $x=1+t^2-t^4$ dans la formule que j'ai donnée ici

    La formule donnée par Fibonacci, $\arctan a+\arctan b=\arctan \frac{ab-1}{a+b}+\frac{\pi }{2}$, n'est pas valable sans conditions sur $a$ et $b$ :
    le second membre étant positif, il faut $a+b>0$ pour que le premier membre soit aussi positif.

    On peut montrer qu'elle est valable pour $a+b>0$.
  • jandri
    Sur le Forum, j'ai tendance à négliger les conditions. Je serai plus prudent. Merci, c'est très gentil de ta part.
    a+
    Fibonacci.

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Si on pose $a=1+x$ et $b=1+x+x^2$ dans la formule donnée par Fibonacci, $\arctan a+\arctan b=\dfrac{\pi }{2}+\arctan \dfrac{ab-1}{a+b}$ (formule valable pour $a+b>0$), on obtient la formule que j'ai proposée juste au-dessus : $\arctan (x+1)+\arctan ({{x}^{2}}+x+1)=\dfrac{\pi}2+\arctan (x)$.
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