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Ladyzhenskaya-Babushka-Brezzi

Bonjour
\begin{eqnarray*}
\mathcal{B}: H^{1}(\Omega)\times L^{2}(\Omega)&\longrightarrow& \mathbf{R},\\
(v,q) &\longmapsto & \mathcal{B}(v,q)=\color{red}{\pm}\int_{\Omega}q\cdot {\rm div}(v)

\end{eqnarray*} $\mathcal{B}(\cdot,\cdot)$ vérifie la condition ${\rm \inf-\sup}$ (ou condition de Bobuska-Brezi) c'est-à-dire :
$$\exists \beta >0, \quad \inf_{q\in L^{2}(\Omega)}\sup_{v\in H^{1}(\Omega)} \frac{|\mathcal{B}(v,q)|}{||v||_{H^{1}(\Omega)}||q||_{L^{2}(\Omega)}}\geqslant \beta \quad ?

$$ Cela fait-il une différence que nous choisissions le signe $-$ ou le signe $+$ ?
Merci.

Réponses

  • Au-delà du fait que c'est formulé de manière incompréhensible, tu ne vois pas qu'il y a une valeur absolue et donc que un $+$ ou un $-$ ne change rien ?
  • Babuska-Brezzi
  • Bonjour,

    La question sur le signe était due à mon manque d'observation. Merci.

    Quelle partie de l'énoncé n'est pas comprise ? Le problème est de vérifier si l'opérateur B satisfait la condition inf-sup (c'est celle mentionnée dans le problème).
  • Bonjour,

    J'ai essayé de continuer à utiliser l'inégalité de Weber et ensuite d'utiliser l'existence de cette constante $C$ qui assure l'inégalité mais je n'ai pas réussi.

    Pouvons-nous montrer quelques suggestions pour résoudre le problème ?
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