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Factorielle de i

Bonsoir à tous

Je me demandais : peut-on calculer $\ i!\,$, avec la fonction $\Gamma$ par exemple ? Si oui, comment ?

Merci par avance, bonne soirée.

Réponses

  • La partie réelle d’un complexe $z$ doit être strictement positive pour pouvoir parler de $\Gamma(z)$ me semble-t-il.

    Édit : cela dit, après réflexion, ce serait $\Gamma(i+1)$ qui donnerait ce nombre $i !$.
  • La factorielle d'un entier $n$ est $\Gamma(n+1)$. Pour $i$ la racine carrée de $-1$ « habituelle », on peut poser \[i!=\Gamma(i+1)\simeq 0{,}498015668118356 - 0{,}154949828301811i.\]
    sage: gamma(i+1).n()
    0.498015668118356 - 0.154949828301811*I
    sage: numerical_integral(real(x^i)*exp(-x),0,100)
    (0.49801567101298366, 6.839749466625544e-08)
    sage: numerical_integral(imag(x^i)*exp(-x),0,100)
    (-0.15494981787933676, 3.6987954452133265e-07)
    
  • D'accord, merci !

    Donc, il est possible de calculer des coefficients binomiaux i parmi n ou vice-versa ?
  • Vice-versa marche mieux.
    sage: binomial(17,i)
    (message d'insultes dont la dernière ligne, la seule importante est...)
    TypeError: either m or x-m must be an integer
    sage: binomial(i,17)
    -87995911/804722688*I + 394259/100590336
    
  • D'accord, merci beaucoup ! :-)

    Bonne journée,
  • Petite parenthèse : vous utilisez SageMath pour vos calculs ? :-)
  • Bonjour

    tu peux définir $\Gamma(1+i)$ à partir du développement en série factorielle (les coefficients sont appelés antifactorielles) :

    $\Gamma (1+x) = 1 + (1-\frac{1}{1!})x+(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!})x(x-1) + (1- \frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!})x(x-1)(x-2) + .......$

    pour le calcul numérique de $\Gamma(1+i)$ il convient de passer par le développement :

    $ln\Gamma(1+x) = - x\gamma + \frac{x^2}{2}Z_2 - \frac{x^3}{3}Z_3 + \frac{x^4}{4}Z_4 - ...........$

    avec $\gamma$ la constante d'Euler et $Z_n$ les séries numériques de Riemann

    pour x = i tu obtiens en effet le résultat annoncé par Math Coss et pour x = - i tu obtiens le conjugué de ce nombre complexe

    sachant que le module commun de ces deux nombres complexes conjugués est $\sqrt{\frac{\pi}{sh\pi}} = 0,52156404686....$

    mais attention ! tu ne peux définir la factorielle de i , cette opération est réservée aux entiers

    de même sans parler de factorielle de i tu peux définir :

    $\begin{pmatrix}i\\17\end{pmatrix} = \frac{i(i-1)(i-2)........(i-18)}{17!} = \frac{394259}{100590336} - i\frac{87995911}{804722688}$

    par contre tu ne peux pas parler de $\begin{pmatrix}17\\i\end{pmatrix}$ qui n'existe pas

    Cordialement
  • Bonjour jean lismonde,
    Merci beaucoup pour vos précisions (en particulier pour le module).

    J'ai une autre question, est-ce qu'on peut avoir, d'après la définition de la fonction Gamma, $i! = \Gamma(i+1) = \int_{0}^{+\infty} t^{(i+1)-1}e^{-t}dt = \int_{0}^{+\infty} t^{i}e^{-t}dt$ ?
  • Tes dernières égalités sont correctes, par définition de la fonction $\Gamma$. L'écriture $i!$ est abusive et n'est pas standard, mais c'est cohérent avec la propriété bien connue donnant le lien entre la fonction $\Gamma$ et les factorielles.
  • D'accord merci.

    Peut-on établir une primitive de $t^i e^{-t}$ alors ?
  • On peut la nommer mais pas l'exprimer à l'aide des fonctions usuelles. C'est la raison pour laquelle la fonction gamma est une fonction spéciale qui ne s'exprime pas autrement que par une intégrale (ou une limite d'un produit ou...).
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