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Solution nulle au bord

Bonsoir à tous
Je voudrais montrer que si $\Omega$ est ouvert borné
$\partial_i u_i =0$ sur $\Omega ,\ i=1,2,3$ et $u= 0$ sur une partie du bord alors $u=0$.

Aidez moi svp.
J'ai voulu utiliser Poincaré mais je viens de me rendre compte qu'on n'a pas d'information sur les autres dérivées.

Réponses

  • Lorsque
    $\partial_i u_i =0$ alors $u_i$ est constante par rapport à $x_i$.

    Est-ce que du fait que $u_i=0,\ u= 0$ ?
  • On est dans $\R^3$ ? Qu'est-ce que $u$ ? Une fonction à valeurs dans $\R^3$ ? Quel rapport avec la divergence ?
  • Bonjour à tous
    Oui $\Omega $ est un sous-ensemble de $\mathbb{R}^3$.
    Oui j'avais pensé que toutes les dérivées étaient nulles.
    Je viens de m'en rendre compte.
  • Soit. $ u=(u_1,u_2,u_3) \in \Omega \subset \mathbb{R}^3$ une fonction vectorielle.
    Je veux montrer que si $\partial_i u_i= 0$ dans $\Omega$ et $u_i = 0 $ sur une partie du bord de $\Omega$ alors $u=0$.

    Besoin d'aide
    Merci d'avance
  • Je ne trouve pas un raisonnement formel
    Ce que je sais c'est que si $\Omega $ est le cube $]{-}1,1[ \times]{-}1,1[ \times]{-}1,1[ $.
    Pour $x=-1,\ u_1=0$ et comme $u_1$ est constante par rapport à $x_1$ alors $ u_1=0.$
    On fait de même pour montrer que $u_2=0,\ u_3=0 $. Ce qui permet de dire que $u=0$.
    Mais je n'arrive pas à faire pour un domaine $\Omega$ quelconque.
  • Si je comprends bien, tu prends une fonction $v:\Omega\to\R$ et tu supposes que $\partial_1v=0$ et que $v$ est nulle sur une partie non vide du bord de $\Omega$. Tu souhaites montrer que $v$ est nulle partout. Ça me semble désespéré, par exemple $v(x_1,x_2,x_3)=x_2$ pour $(x_1,x_2,x_3)\in[-1,1]^3$, qui ne dépend pas de $x_1$ et est nulle sur $\{-1,1\}\times\{0\}\times[-1,1]$.
  • Choses que je ne comprends pas :
    • dans ton « exemple », tu prends une fonction définie sur le cube ouvert ; elle n'est donc pas définie sur le bord dudit cube ;
    • quel lien avec la divergence ? Ne faudrait-il pas comprendre $\partial_iu_i$ comme étant implicitement précédé d'une somme $\sum_{i=1}^3$ ?
  • Non...
    Excusez moi ça n'a pas de relation avec divergence.
    C'est plutôt ceci $\partial_1 u_1=0, \partial_2 u_2=0, , \partial_3 u_3=0$ que je définis par ,$ \partial_i u_i=0$
  • Quand tu dis que tu n'as pas d'information sur les autres dérivées que veux-tu dire ?

    Il semble bien qu'on peut appliquer l'inégalité de Poincaré pour peu que $u$ ait la bonne régularité et qu'on ait les bonnes hypothèses sur $\Omega$.
  • $\partial_1 u_2$ n'est pas nul.
    Je me demande comment appliquer l'inégalité de Poincaré si $\partial_i u_j \neq 0$.
  • J'ai donné un exemple qui suggère que la propriété est fausse et posé une question sur ton exemple mal formaté.
  • Oui j'ai bien compris votre question... c'est parce que j'avais dit que la fonction était nulle sur une partie du bord que je n'ai pas précisé ce qui se passait sur le bord .
    Merci..
  • Et j'ai redéfinis ça en haut . $\partial_i u_i $ n'est pas précédé d'une somme.
  • ok autant pour moi j'étais à côté de la plaque !
  • Il serait temps d'être clair en autant de messages.
    Si tu poses par exemple que u(x,y,z)=(y,0,0) comme a suggéré MC tu as tes hypothèses vérifiées sans que la fonction ne soit nulle.
    Si quelque chose nous échappe merci de tout mettre clairement dans un seul message sans erreur de Latex. En particulier cette fameuse condition au bord : est-ce que c'est une certaine partie du bord donnée ou ça peut être éventuellement n'importe quelle partie du bord (en gros, que dit exactement ton énoncé) ?
  • Bonsoir à tous
    u est une fonction vectorielle de $\Omega \subset \mathbb{R}^3$
    Prenons $\Omega$ comme étant un cube
    J'aimerais savoir si u=0 sur les deux faces supérieur du cube et que $\partial_1 u_1 =0,\partial_2 u_2=0,\partial_3 u_3 =0$ alors $u_1=0, u_2=0, u_3=0$
    Merci
  • Bonsoir.

    Comme tu n'as pas défini ton cube, je ne rentrerai pas dans les détails (tu continues à rester dans le flou... C'est aux autres de faire l'effort ?).
    Une indication qui te permettra de savoir tout seul (si tu t'y mets) : la fonction x--> x^2 est nulle en 0, et sa dérivée aussi ; mais elle n'est pas nulle partout.

    Bonne réflexion personnelle !
  • Bonsoir à tous
    $u$ est une fonction vectorielle de $\Omega \subset \mathbb{R}^3$.
    Prenons $\Omega$ comme étant un cube $]{-}1,1[\,\times\,]{-}1,1[\,\times\,]{-}1,1[.$
    J'aimerais savoir si $u=0$ sur les deux faces supérieures du cube et que $\partial_1 u_1 =0,\partial_2 u_2=0,\partial_3 u_3 =0$, alors $u_1=0, u_2=0, u_3=0$.
    Merci.
  • Gerard0 la fonction f(x)=x^2 ne vérifie même pas les conditions...vu que la dérivée de la fonction doit être nulle partout dans $\Omega $
  • Que sont "les deux faces supérieures du cube $]{-}1,1[\,\times\,]{-}1,1[\,\times\,]{-}1,1[$ ?
  • Encore une fois, sur un cube ouvert il n'y a pas de face. En tout cas une fonction définie sur $\Omega$ n'est pas définie sur le bord de $\Omega$.
  • Bonjour à tous
    Merci beaucoup à tous pour votre attention.
    Peut-être que je pose mal mon problème c'est pour ça [que] vous ne me comprenez pas.
    Mais je regarde le cube dans [-1,1]×[-1,1]×[-1,1].
  • Moi quand je lance un dé, je vois une seule "face supérieure", pas deux.
  • Romziath,

    tu n'as pas vu l'analogie ! Un segment n'a que deux "faces" qui sont ses extrémités, et j'utilise une condition analogue.

    Mais il va falloir que tu te décides à traiter sérieusement ton problème, tout seul, puisqu'il est élémentaire : Tu dis que $\partial_1 u_1 =0,\partial_2 u_2=0,\partial_3 u_3 =0$ à un certain endroit du cube $]{-}1,1[\,\times\,]{-}1,1[\,\times\,]{-}1,1[.$. Pas de chance, tu lui as enlevé toutes ses faces !!

    Déjà, poser correctement le problème est un préalable à sa résolution. Fais ce travail, et expose précisément et clairement la situation. Pour moi, j'imagine facilement un énoncé précis et une réponse, mais ce n'est probablement même pas ta question. Tu es toujours resté trop flou !!

    Cordialement.
  • Bonsoir à tous
    Qu'entent -on par plaque encastré sur l'une de ces bords latéraux ?
    Merci.
    Aussi quels sont ces propriétés ?
  • Par là, je n'entends pas grand chose. Merci Pierre.

    Peux-être auras-tu plus de réponses en postant un message comprenant un contexte et débarrassées de scories grammaticales et orthographiques.

    e.v.
    À ta naissance, tu pleurais tout le temps et tout le monde souriait autour de toi. Fais en sorte qu'à ta mort, ce soit l'inverse. (Proverbe arabe)
  • Bonjour,

    Quand une plaque est encastrée sur un bord, on signifie que le bord est fixe : son déplacement et sa vitesse sont nuls. Les conditions pour ce bord sont que, en tout point du bord et en tout temps, le déplacement est nul ; et en tout point du bord et en tout temps, la vitesse de déplacement est nulle.
  • Merci beaucoup
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