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Petite question

Bonsoir
svp je cherche une solution facile pour mon enfant (3 AC) de l'exercice suivant.

Si $ (1+\sqrt{2})^{2020}=a+\sqrt{2}b $, calculer $ a^{2}-2b^{2} $.

Réponses

  • Il faudrait le convaincre que $(1-\sqrt 2)^{2020} = a-\sqrt 2 b$ (j'imagine que $a$ et $b$ sont des entiers).
    Il ne reste qu'à faire le produit.

    Sinon, ça veut dire quoi 3AC ?
  • L'exercice est un peu daté, cela dit...
  • JLapin a écrit:
    Il faudrait le convaincre que $(1-\sqrt{2})^{2020} = a - \sqrt{2}\, b $

    Et je complète : avec le même entier $a$ et le même entier $b$ que dans $(1+\sqrt{2})^{2020}=a+\sqrt{2}b$.
    $a^2-2b^2$, c'est le début d'une identité remarquable.
    $a^2-2b^2 = (a+\sqrt{2}b)(a-\sqrt{2}b)$
    Avec ces 2 briques, on a les bases pour construire le calcul.

    Si 3AC, ça veut dire classe de 3ème, ça me paraît un exercice très difficile pour une classe de 3ème. Je pense que même en terminale, cet exercice ferait beaucoup de dégâts !


    Edit : correction signe + au lieu de - :)
  • Si l'exposant n'était pas $2020$, on pourrait penser que l'exercice a été donné en IIIè classique (lettre A) dans les années soixante, époque où cela n'eût fait peur à personne.
  • j__j je ne suis pas sûr que même dans les années 60, les élèves de 3ième savaient en déduire l’indication donnée par JLapin.
  • lourrran, c’est plutôt $a^2-2b^2=(a+\sqrt{2} b)(a-\sqrt{2} b)$, non ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Il faudrait peut-être préciser que $a$ et $b$ sont entiers, non ?
  • Peut-être qu'on savait dans les années 60 que la norme dans $\mathbb Z[\sqrt 2]$ est multiplicative.
    Après tout, on peut faire les calculs en 3ème.
    Et alors l'exercice devient trivial...
  • Pythonnons :
    def a_et_b(n):
        a, b = 1, 0
        for _ in range(n):
            a, b = a+2*b, a+b
        return (a, b)
    
    a, b = a_et_b(2020)
    print("a =", a)
    print("b =", b)
    print("a^2 - 2 b^2 =", a**2 - 2*b**2)
    
  • On ne s'embête pas et on attaque la théorie des anneaux, ça ne coûte pas beaucoup plus cher.

    Je plaisante évidemment mais pas tant que ça. On apprend pas mal de choses élémentaires sur les anneaux $\mathbb{Z}[{\sqrt x}]$ sans le dire avec ce petit exercice.
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