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Fractions inverses

Une petite colle (niveau Terminale, Mohammed R si tu nous lis ;-)) qu'on peut résoudre avec ou sans astuces...

Soit $p$ un nombre premier.
Trouver tous les $(m,n)\in\mathbb Z^2$ tels que $\dfrac 2 p=\dfrac 1 m+\dfrac 1 n$.

Réponses

  • Bonsoir,

    Ce serait plus rigolo avec $\dfrac 4 n=\dfrac 1 x+ \dfrac 1 y + \dfrac 1 z$, mais à ma connaissance, c'est encore un problème ouvert, ne serait-ce que de montrer qu'il y a toujours une solution en $x,y,z$, pour $n$ donné tel que $n\geq 4$.
    Si quelqu'un a des nouvelles plus fraiches ...

    Cordialement,

    Rescassol
  • Les solutions de $1/a=1/b+1/c$ sont $a=\lambda uv$, $b=\lambda u(u+v)$, $c=\lambda v(u+v)$.
    Donc ici, $a=p$ et $b=2m$, $c=2n$.
    Donc
    1) $\lambda=p$ et $u=v=1$, donc $m=p$, $n=p$
    ou
    2) $u=p$ et $\lambda=v=1$,donc $p(p+1)=2m$, $p+1=2n$, donc si $p>2$, $m=p(p+1)/2$, $n=(p+1)/2$.
    ou
    3) cas semblable à 2): si $p>2$, $m=(p+1)/2$, $n=p(p+1)/2$.
  • Donc si $p=2$ les solutions sont $m=n=p$.
    Si $p>2$, $(m,n)=(p,p)$ ou $(p(p+1)/2,(p+1)/2)$ ou $((p+1)/2,p(p+1)/2)$.
  • @Rescassol : Tiens, une surface cubique de $\mathbb P^3(\Q)$.
    Quels sont ses points rationnels ? Très bonne question :)o
  • @marco : Tu as oublié des solutions et on peut faire cet exercice sans connaître de paramétrisation rationnelle de la conique projective dont tu parles.
  • Oui, il y a aussi les cas
    4) $\lambda=-1$, $u=1$, $v=-p$, donc $b=p-1$, $c=-p(p-1)$, donc $m=(p-1)/2$, $n=-p(p-1)/2$ si $p>2$
    5) $m=-p(p-1)/2$, $n=(p-1)/2$ si $p>2$.
  • Il est classique de mettre l'équation sous la forme $(2m-p)(2n-p)=p^2$
  • Classique en Terminale ?
  • Non pas très classique en Terminale effectivement, de ce que je constate, tout comme le problème malheureusement...

    Je te remercie gai requin d'avoir pensé à moi mais le seul couple que j'avais trouvé était $S = {(p,p)}$... Je m'étais également rendu compte que $m+n$ était un nombre pair ce qui nous renseigne sur la parité de $m$ par rapport à celle de $n$. Je n'ai rien trouvé de plus cependant 8-)

    Merci,
    Mohammed R
  • Commence par traiter le cas $p=2$.
  • Ce n'est pas "classique" en terminale mais pour résoudre dans $\Z$ une équation de la forme $axy+bx+cy+d=0$ (d'inconnues $x$ et $y$) une méthode efficace est de la mettre sous la forme $(ax+c)(ay+b)=bc-ad$ puis de faire intervenir les diviseurs de $bc-ad$.
  • Et oui, les asymptotes de ton hyperbole $\cal H$ ont pour équation $ax+c=0$ et $ay+b=0$ donc la fonction $\cal H\to\R$, $(x,y)\mapsto (ax+c)(ay+b)$ est constante.
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