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Application linéaire non bornée

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Réponses

  • Essaye de le faire si $E=\R$ pour commencer...
  • Sol je viens de commencer le cours sur la continuité des applications linéaires, je n'ai pas de recul.

    Si $E=\R$ alors les applications linéaires sont celles de la forme $ f : x \mapsto k x$ avec $k \in \R$.

    On a $|f(x)| = |k x|$

    La norme de $f$ tend vers plus l'infini en plus l'infini donc $f$ n'est pas borné.
  • C'est quoi "la norme de $f$" ?
    Même ce cas simple tu arrives à le rater et tu veux nous faire croire que tu as résolu sans recopier de correction les deux exos sur l'uniforme continuité dans un autre fil...

    @Sol : oui, désolé pour la confusion des termes.
  • OS: Dans $\C[X]$ tu prends l'opérateur de différence $\Delta:P\longmapsto P(X+1)-P(X)$ et la norme $N(P)=\sup|a_{k}|$ prend la suite $P_{n}=X^{n}$ et fait des calculs.
  • La norme de $f(x)$ plutôt.

    JLapin me rater de quoi ? J'ai donné une solution où est l'erreur ?

    Amédé merci !

    $N_{\infty}(P_n)=1$

    $\Delta(P)=(X+1)^n-X^n = \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} X^k -X^n =\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} X^k$

    Le coefficient binomial est maximal quand $k=E(n/2)$.

    Donc $N_{\infty} (\Delta (P))= \binom{n}{E(n/2)} \longrightarrow + \infty$
  • C'est nul j'en veux un autre. Sans aucune nécessité de gros calculs (oui c'est déjà gros pour rien là).
  • T'as oublié le coefficient binomial dans la dernière somme.
  • Exactement dans le même espace vectoriel normé un autre exemple simple ?
  • Amédé j'ai corrigé car le coefficient binomial n'est pas maximal pour $k=n-1$ !
  • Soit l'application linéaire dans $\R[X]$ définie par $f(P)=P(1)$

    Je prends $P_n =\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} X^k$ on a $||P_n||_{\infty} =1$ alors que $||f(P_n) ||=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}$ et cette série diverge.
  • C'est une forme linéaire ton exemple...
  • Tu te fatigues vraiment pour pas grand chose, mais, oui, si on oublie le fait que tu aurais pu (ou plutôt dû) mettre une valeur absolue autour de $f(P_n)$ et non une norme, c'est correct... mais ce n'est pas un endomorphisme.
    D'ailleurs, pour cette application linéaire, tu aurais pu aussi utiliser la suite de polynômes $\displaystyle (\sum_{k=0}^n X^k)_{n\in\N}$, tout simplement.


    Pour un endomorphisme, tu pourrais considérer l'endomorphisme de dérivation et la suite $(X^n)_{n\in\N}$.
  • Merci Bisam.

    On pose $f(P)=P'$.

    On pose $P_n =X^n$ alors $f(P^n)=n X^{n-1}$ et $||f(P_n)||=n \longrightarrow + \infty$
  • OShine, une petite question. Que dirais-tu à un étudiant qui écrirait exactement la même chose que toi pour l’endomorphisme de dérivation dans $\R_n[X]$?
  • Je ne vois pas ce qui change dans les calculs.
  • Certes les calculs ne changent pas, mais c’est tout ce que tu lui dirais?
    Et donc on aurait trouvé une application linéaire en dimension finie non continue?
  • Je ne comprends pas ce qui change.
  • Puuunaise...!
  • Je ne vois vraiment pas.
  • Et donc l’étudiant en question aurait démontré quoi dans le cas présent? Peux-tu me le dire?
  • Shannon bonne question, je ne vois pas de problème :-S
  • OShine si tu ne vois pas le problème c'est vraiment la preuve que tu t'attaques à des exercices trop durs pour toi

    Il n'y a rien de très compliqué ici mais il faut avoir l'esprit au clair avec l'action (que cherches tu à faire ?), le décor (quel est le contexte ?), etc
  • Encore les quantificateurs...
  • Je ne comprends rien, il n'y a aucun quantificateurs dans les calculs des normes.

    De quoi vous parlez :-S
  • OShine a écrit:
    Il n’y a aucun quantificateur
    On n’est pas sorti de l’auberge.
  • OShine,

    Arrête de te prendre la tête avec les maths, sérieusement. T’as un métier stable, t’as des projets(voyages...etc), c’est ce qui compte. Franchement les maths, tu t’en fiches. Profite et laisse tomber ces conneries.
  • Mais pourquoi vous me parlez en chinois ? Je ne sais même pas de quoi vous parlez, vous faites des devinettes.

    Vous avez un recul important sur une notion que je viens de découvrir il y a 1 jour, si je vois pas la nuance pourquoi vous vous moquez de moi ?
  • Je ne me moque pas OShine. C’est juste que parfois(souvent), tes réponses me surprennent.
    Je te conseille juste de passer à autre chose. lourran te l’a dit, où est le problème?
  • J'ai le droit de vouloir étudier les maths. Je m'ennuie a donner des cours au collège.

    Gardez votre savoir si vous ne voulez pas le partager.
  • Je trouve, au contraire, qu'ils sont extrêmement patients de vous aider, Oshine.

    Je n'intervenais pas, jusque ici, mais franchement cela commence à bien faire. Et, par pitié, restez loin du Lycée pour l'instant.
    Nos lycéens méritent quelqu'un qui comprend quelque chose aux maths.

    De rien.
  • OShine écrivait:
    > La norme de $f(x)$ plutôt.
    >
    > JLapin me rater de quoi ? J'ai donné une solution
    > où est l'erreur ?

    En prenant $k=0$, tu viens de démontrer que la fonction nulle n'est pas bornée.

    Sais-tu généraliser et démontrer qu'une application linéaire non nulle entre deux espaces vectoriels normés n'est pas bornée ?
  • OS: une application linéaire en dimension finie est toujours continue.
  • C'est les vacances, je suis un peu plus patient que d'habitude...

    Oshine :
    Dans ce que tu as écrit ICI, tu n'as mis aucun quantificateur sur $P$, tu n'as pas dit sur quel ensemble tu définissais ton endomorphisme, et tu n'as mis aucun quantificateur sur $n$.

    Pourrais-tu le réécrire en précisant tous ces points ?
  • Id Est je n'ai aucune envie d'aller au lycée donc ne t'inquiète pas.

    Bisam je ne trouve toujours pas le problème.

    Soit $f$ l'endomorphisme de $\R[X]$ défini par $ \forall P \in \R[X], \ f(P)=P'$.
    On pose $\forall n \in \N, \ \ P_n =X^n$ alors $N_{\infty} (P_n)= 1$.
    Or $\forall n \in \N^{*} ,\ f(P_n)=n X^{n-1}$ et $f(P_0)=0$.
    Ainsi, $N_{\infty} (f(P_n)) = n \longrightarrow + \infty$.
  • OShine a écrit:
    Id Est je n'ai aucune envie d'aller au lycée donc ne t'inquiètes pas.

    Essaie d'être précis quand tu t'exprimes, c'est toujours bien, y compris quand on essaie de faire des maths.

    Ici, tu aurais dû dire : je n'ai plus aucune envie d'aller au lycée donc ne t'inquiètes pas.
  • Et maintenant en recopiant le raisonnement sur $\mathbb{R}_{n}[X]$ ?
  • La norme de $P_{0}$ est nulle...
  • Et maintenant, qu'est-ce qui change si on fixe un entier $p$ et si l'on considère l'application $f_p$ de $\R_p[X]$ dans lui-même qui à tout polynôme $P$ de $\R_p [X]$ associe $P'$ ?
  • Amédé la norme de $P_0$ n'est pas nulle.

    Bisam

    On se place sur $\R_p [X]$. Soit $f$ un endomorphisme de $\R_p [X]$

    Soit $P \in \R_p[X]$. Alors $\exists (a_0, \cdots, a_p) \in \R^{p+1} \ P=\displaystyle\sum_{k=0}^p a_k X^k$

    Et donc $f(P)=P'=\displaystyle\sum_{k=1}^p k a_k X^{k-1}$

    On a $N_{\infty} (f(P))= \max_{ 1 \leq k \leq p} ( k |a_k| )$

    Mais $\forall k \in [|1,p|] \ \ k |a_k| \leq p |a_k|$ donc $\boxed{N_{\infty} (f(P)) \leq p N_{\infty} (P)}$

    Donc $f$ est continue.
  • Pourquoi tu réponds à une question qu'on ne te pose pas ?
  • Ca change que $p$ est fixé et qu'on peut pas prendre $\forall n \in \N \ P_n=X^n$ car $n \leq p$ !
  • Si tu préfères la norme de $P'_{0}$ est nulle je me suis mal exprimé
  • OShine :
    Bien, il ne te reste plus qu'à résoudre mon petit exercice.
  • JLapin

    Je ne trouve pas ton exercice. Une indication ?
  • Essaye avec des cas particuliers en petite dimension pour commencer...
  • Mais on a déjà fait plein d'exemples précédemment avec les aides de Bisam et Amédé mais je ne vois pas comment en déduire une preuve générale.
  • OShine, c'est de cet exercice http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2321832,2322450#msg-2322450 dont il s'agit ?

    si oui tu as déjà quasiment répondu ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2321832,2322524#msg-2322524

    Dans le cas général si $f:E\to E$ est linéaire et non nulle alors il existe $v\in E$ tel que $f(v)\neq 0$ donc $\|f(v)\|\neq 0$ en notant $\|.\|$ une norme quelconque sur $E$.

    À présent il faut utiliser le caractère linéaire de $f$ pour montrer qu'on peut obtenir des vecteurs dont la norme est aussi grande que l'on veut.
  • Raoul.S merci j'ai répondu uniquement dans le cas où $E=\R$ en dimension $1$.

    Soit $\lambda >0$. On a donc par linéarité de $f$ : $|| f( \lambda v)||= \lambda || f(v) ||$

    Ainsi, $\lim\limits_{\lambda \rightarrow +\infty} || f( \lambda v)|| = || f(v) || \lim\limits_{\lambda \rightarrow +\infty} \lambda$

    Comme $||f(v)|| >0$ on en déduit $\boxed{\lim\limits_{\lambda \rightarrow +\infty} || f( \lambda v)||= + \infty}$

    Donc $f$ n'est pas bornée.
  • Qui est $v$ ?
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