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Continuité application linéaire

Bonjour,

Je ne comprends pas les deux encadrés. Pour le premier j'ai calculé mais je n'ai pas réussi à obtenir ce résultat.

Pour le deuxième, je ne comprends pas le rapport avec l'inégalité de la moyenne :-S

Ce n'est pas plutôt l'inégalité triangulaire ?

$|| u(x) || = \max \{ |x_1|, |x_1+x_2|, \cdots, |x_1 + \cdots +x_n| \}$ et $||x || = \max \{ |x_1|, \cdots, |x_n| \}$128256

Réponses

  • Comment majorer $|x_1 + \cdots + x_k|$ en fonction de $\|x\|_\infty$ lorsque $1 \leq k \leq n$ ?

    Pour le deuxième ne t'embête pas avec l'inégalité de la moyenne : majore brutalement $|f(t)\sin(t)| \leq \|f\|_\infty |\sin(t)|$ puis intègre.
  • C'est quoi pour toi l'inégalité de la moyenne ?
  • Apparemment la définition d'application linéaire continue est méconnue...
  • Sol ok merci, on a $|x_1 + \cdots +x_n| \leq |x_1| + \cdots + |x_n| \leq n ||x||$

    L'intégrale donne $2$ car sur $[0,\pi]$ on sait que $| \sin(x) |= \sin(x)$

    Amédé une application linéaire est continue si et seulement si $\exists k\geq 0 \ \ \ \forall x \in E \ ||u(x)|| \leq k ||x||$

    Inégalité de la moyenne :

    $\forall x \in [a,b] \ $ si $| f(x) | \leq M$ alors $| \displaystyle\int_{a}^b f(t) dt| \leq M (b-a)$
  • Ok, pour moi l'inégalité de la moyenne dit plus généralement que l'intégrale de la valeur absolue majore la valeur absolue de l'intégrale.
  • Le truc pour montrer que $\|u(x)\| \leqslant n\|x\|$, on te l'a déjà montré sur le forum.

    Comme d'habitude, aucune réflexion, pas le moindre essai d'écrire quelque chose, le résultat n'est pas trivial pour toi (alors qu'il devrait l'être, au passage...) donc il te parait insurmontable de commencer à écrire des choses.

    Quel rapport pourrait il y avoir entre $\max(x_1,x_1+x_2,\ldots,x_1+x_2+\cdots+x_n)$ et $\max(x_1,\ldots,x_n)$. Houlàlààà c'est d'un com-pli-qué ça ! Ce n'est absolument pas un exercice qu'on ferait faire en septembre en L1 !
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