Cours internet erreur ? — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Cours internet erreur ?

Bonsoir,

J'ai trouvé un cours en ligne de niveau collège.

J'ai un doute sur les propriétés 3 et 4.

Elles ne sont pas forcément vraies non ?128236

Réponses

  • Les textes qui définissent les notions logiques de base employées en mathématiques sont, en dehors de ceux écrits par des logiciens (et du texte introductif de Bourbaki: théorie des ensembles qui à défaut de proposer la théorie des ensembles telle qu'elle est réellement pratiquée, est rigoureux du début à la fin et définit vraiment le formalisme), presque exclusivement médiocres.
    Cet extrait ne fait pas exception, tu peux en faire du papier à brouillon.
  • Je me demande bien pourquoi il y a un cœur, à gauche de "définitions". Ça voudrait dire qu'il faudrait l'apprendre par cœur ?

    Sinon, le parallèle "qui peut être démontrée", avec des exemples de la vie courante "qui sont évidemment vraies" laisse songeur.

    OShine, tu as un doute sur la 3 et la 4 mais tu n'as pas de doute sur la 5 ? On voit que tu n'es pas brestois. Ah le parisianisme ! :-D

    Troll à part, soyons sérieux deux minutes, se tripoter pendant des pages, pour savoir si on va "forcément" allumer le radiateur s'il fait froid, ou si monsieur Lenzen va rester à casa s'il est malade, n'a aucun intérêt mathématique et pédagogique de toute façon. Ne te fais pas de nœuds au cerveau avec ça OShine et ne pars pas là-dessus avec tes élèves, tu vas perde ton temps, c'est vaseux.

    Cordialement.
  • Bonjour,

    Et bien sûr, on est européen, en Guadeloupe, en Guyane et à Tahiti.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Ces territoires bénéficient d'une association mais ne sont pas européens, par exemple pour tahiti : https://fr.wikipedia.org/wiki/Relations_entre_la_Polynésie_française_et_l'Union_européenne

    Donc même P1 est faux.
  • Bonjour,

    C'était bien le sens de ce que je disais.

    Cordialement,

    Rescassol
  • OShine a écrit:
    J'ai trouvé un cours en ligne de niveau collège.

    C'est un cours écrit par un collégien ?
  • JLT (tu) :-D
  • JLT c'est un cours de 5e "d'aujourd'hui" par un néo.

    Crois moi que ça devient très très problématique ...
  • Tout dépend de ce qu'on entend par « Europe ». Il y a une Europe géographique, il y a une Europe civilisationnelle, et il y a le machin de Bruxelles.
  • Belle performance, réussir à replacer "civilisationnelle", au bout de dix messages seulement, sur un sujet qui déjà n'en vaut pas vraiment la peine. J'admire la prouesse.
  • Zeitnot
    Tu as bien réussi à placer les mots "gauche" et coeur" dans ton premier message (:D.
  • Du coup ça équilibre. :-D

    (Un point pour toi, ta réplique est tellement drôle. )
  • D'après la définition donnée ici les énoncés "tout entier naturel est la somme de 4 carrés" ou "$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac {\pi^2}{6}$" ne sont pas des propriétés mathématiques car pas sous la forme "si ... alors ...".

    Pour en remettre une couche, une propriété mathématique devrait, selon moi, parler de mathématiques... Ce qui n'est pas le cas des exemples proposés juste après la définition, ça me semble assez maladroit.

    Ceci dit je serais bien en peine de donner une définition à la fois correcte et compréhensible par des collégiens. Heureusement je n'ai pas à le faire et je me contente de tirer sur l'ambulance (:D
  • Renart, la question est : et pourquoi faudrait-il absolument donner une telle définition ? Il y a 30 ans, au collège je n'ai jamais eu de définition de ce que pouvait être une propriété en géométrie, ça ne nous empêchaient pas d'en connaître un paquet, d'en comprendre le sens et de faire des démonstrations construites et articulées à partir de ces dernières.
    (Pas plus que je n'ai eu de définition de ce qu'était un nombre réel par exemple... S'il avait fallu que j'attende d'avoir une définition que je puisse comprendre de ce qu'est un réel, je n'aurais pas fait beaucoup d'analyse au lycée.)
  • Il serait utile de parler également de réciproque et de contraposée à mon sens (dès le collège) car on se retrouve avec des élèves de première et de terminale qui n'arrivent pas à comprendre par exemple que leur raisonnement faux "si la fonction racine carrée n'est pas dérivable en zéro alors la fonction $x*\sqrt{x}$ n'est pas dérivable en zéro" correspond à la contraposée de la réciproque de leur propriété vue en cours "si u et v sont deux fonctions dérivables sur I alors u*v est dérivable sur I".
  • @Zeitnot:

    Pour pouvoir demander à des élèves de faire des démonstrations il faut déjà commencer par leur expliquer ce qu'est une démonstration. Si on ne le fait pas alors un élève ne sait pas (ne peut pas savoir) ce qu'il doit expliquer, ce qui ne mérite pas la peine d'être expliqué, ce qui fait partie des hypothèses ou pas...

    Combien de fois on m'a dit (en tant qu'élève) de telle propriété qu'elle était évidente et quand j'en demandais une preuve je n'obtenais absolument rien de convainquant. Combien de fois je me suis demandé jusqu'où devait remonter une démonstration. Il m'est aussi arrivé un certain nombre de fois que me soient comptabilisées fausses des démonstrations justes parce que je n'étais pas en phase avec les non-dits de l'enseignant. C'est à nous en tant qu'enseignants d'établir des règles claires et explicites. La semaine avant les vacances un (bon) élève de 4e m'a dit "mais alors pour nous les théorèmes que l'on ne démontre pas, c'est comme des axiomes?" ce qui illustre que c'est à leur portée si on prend la peine et le temps de leur expliquer

    Tu fais bien de pointer le nombre réel, c'est le vrai talon d'Achille de tout le secondaire! Je pense qu'il faut se satisfaire par exemple de ne démontrer Thalès que pour les rationnels, et que de vouloir le faire pour les réels relève de la supercherie.
  • Soc
    C'est à la portée de certains mais certainement pas de tous (tu as d'ailleurs précisé "bon élève"). Parfois, la démonstration de ce qui peut apparaître comme "évident" n'est pas si simple que cela. La définition donnée dans ce cours en ligne ne me dérange pas vraiment (je trouve en revanche les exemples peu pertinents).
    Pour cette histoire de tes démonstrations justes mais déclarées fausses par l'enseignant il faudrait avoir des exemples très concrets pour pouvoir juger.
    Je n'ai pas bien saisi cette histoire du talon d'Achille de tout le secondaire avec les réels (ce n'est pas ce qui me frappe en premier si je dois parler de talon d'Achille).
    Les lacunes fatales ne manquent pas à commencer par une très pauvre connaissance du français qui s'aggrave année après année. De plus en plus de lycéens ne connaissent même plus le subjonctif et confondent "ait" avec "et" voire "est" (ce qui est fatale dans un exercice de probabilité avec des énoncés comme: la probabilité qu'un malade ait un test positif est 95% par exemple).
  • Renart écrivait:
    > D'après la définition donnée ici les énoncés
    > "tout entier naturel est la somme de 4 carrés" ou
    > "$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} =
    > \frac {\pi^2}{6}$" ne sont pas des propriétés
    > mathématiques car pas sous la forme "si ... alors
    > ...".

    Tu peux reformuler la première en "si $n$ est un entier naturel, alors...."
    et la deuxième en "Si $\pi$ désigne le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, alors..." :)
  • Bonjour.

    Un point à la propriété mathématique de ne pas avoir de dimension, est-ce démontrable ?

    Bonne continuation.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • JLapin : je m'y attendais un peu à celle là ! Si je voulais comme toi jouer sur les mots je te dirais que tu a juste trouvé d'autres énoncés que les miens, équivalents aux miens, qui collent à la définition. Ce qui ne contredit pas mon affirmation de départ ;-)



    Zeitnot : pour le collège je ne sais pas, je ne me sens pas compétent pour émettre un avis éclairé. Ta réponse et celle de soc me paraissent toutes les deux raisonnables. Il n'empêche que la question de savoir ce qu'est une démonstration, une proposition, un théorème, un axiome n'est pas qu'un "abstract nonsense" inventé par des logiciens pour torturer mathématiciens et élèves. Je pense que cela a tout son sens de se demander "c'est quoi une démonstration ?" dès le collège, mais je ne sais pas ce qu'il faudrait répondre aux élèves.
  • @Renart
    Je plaisantais : je suis d'accord avec toi en fait. Cette contrainte de "condition .... conclusion" est un peu ridicule.
  • J'avais compris JLapin ;-)
    Personne de raisonnable ne penserait que "Si $=$ désigne l'égalité alors $0=0$." est une bonne façon d'énoncer $0=0$, en tout cas je l'espère :-D
  • Renart, je pense aussi qu'il est primordial de faire le maximum de démonstrations et qu' un maximum d'élèves comprennent ce que veut dire démontrer, ce qu'est une démonstration. Je me suis peut-être mal exprimé, mais vouloir donner une définition abstraite hors contexte de ce qu'est une proposition, une propriété, un théorème, par contre, je n'en perçois pas trop l'intérêt.
    Si un élève sait parfaitement ce qu'est une fourchette, sait parfaitement l'utiliser, mais ne sait pas définir formellement le mot fourchette, ça ne me semble pas prioritaire. Et quand bien même on lui donne la définition du mot fourchette, ça ne l'aidera pas, je pense.
    Si je caricature, j'attends ensuite avec impatience la définition rigoureuse, de ce qu'est une définition mathématique. Je pense que ça sert à rien, pour autant je trouve important de donner des définitions rigoureuses.

    Cordialement.
  • Condition/conclusion me paraît au contraire plutôt approprié pour le concept de démonstration.

    Au début d'une démonstration on a une certaine quantité de données pouvant être utilisées pour alimenter des calculs ou des théorèmes. Chaque théorème a ses propres conditions pour pouvoir être utilisé, si on veut l'utiliser on doit vérifier qu'elles sont remplies (Si le théorème fonctionne dans tous les cas, tant mieux). Après application d'un théorème on dispose d'un élément pouvant être utilisé pour la suite. On avance étape par étape jusqu'à ce qui nous intéresse.

    Voila en résumé ce que je présente à mes élèves et ils comprennent plutôt bien.
  • Pourquoi "au contraire" ?
    Je n'ai pas l'impression que ce que j'écris s'oppose d'une quelconque façon à ce que tu écris. ;-)
  • @Zeitnot: le "au contraire" était par rapport à la remarque de JLapin et de ceux qui trouvent le "si ...alors" réducteur. Même si souvent cette formulation n'est pas appropriée, elle reste à mon avis le meilleur moyen de faire comprendre le principe des démonstrations aux élèves.

    @Biely: Pour la définition des réels, je parlais de talon d'Achille dans la structure du cours plus que dans les connaissances des élèves car on s'appuie souvent dessus sans jamais pouvoir les définir correctement.
  • Comme déjà dit par d'autres ce formalisme dans un cours de collège est de l'enc.. de mouches et est probablement contre-productif. Par contre, utiliser comme structure Si...Alors pour énoncer un théorème (une proposition) me semble être une bonne chose.

    Pour moi une proposition est un théorème qui est mis en relief dû au choix qui est fait dans un cours d'exposer les choses de telle manière plutôt qu'une autre. Dans un autre choix d'exposition cette proposition pourrait être absente.

    On peut considérer que, par deux points distincts du plan passe une unique droite, est une propriété des sous-ensembles à deux points, du plan. Va démontrer ça. :-D
  • Je n’ai pas tout lu, pardon si c’est de la redite…

    1) les énoncés proposés plus haut :
    « Tout entier est somme de … » est un énoncé compris essentiellement par les matheux.
    Je pense qu’un bon exercice est de le quantifier.
    Ensuite le « si … alors … » arrive facilement : si $n$ est un entier, alors il existe…

    « La somme de la série égale à $\pi^2/6$ » est un énoncé sous la forme « si … alors … » même si c’est caché, il me semble, dans la définition de ce nombre $\pi$.
    En gros : si on note $\pi$ le nombre $utile-aux-sages$, alors on a l’égalité.

    2) définition d’un énoncé/exercice/théorème
    Mais c’est une bonne question finalement : tous les théorèmes sont-ils énonçables sous la forme « P => Q » ou est-ce un artifice pédagogique ?
    J’ai volontairement écrit « P => Q » au lieu de « Si P, alors Q ». Ça, chacun le conçoit sans problème, me semble-t-il.
  • Au lieu d’éditer je fais un ajout :

    J’ai l’impression que l’usage est de faire un « si… alors… » quand l’assertion est quantifiable avec un « quel que soit » (universel dans un certain ensemble).
    Par contre, quand c’est « il existe », j’entrevois mal le « si… alors… ».

    Remarque :
    L’égalité avec $\pi$ ou toute autre limite d’ailleurs se quantifie, quand on déplie les définitions, avec « quel que soit epsilon » mais c’est vraiment imbitable.
  • Dans le cadre de l'enseignement au collège voire au lycée, je pense que l'on devrait bannir les mots "proposition", "propriété", "lemme" et tous les remplacer par "théorème" (sauf éventuellement les propositions que l'on n'arrive pas à démontrer...). Cela aide à mieux expliquer la structure logique, en particulier pour réussir à faire distinguer une définition d'un théorème.

    Pour ceux qui en doutent encore, (100- epsilon)% des élèves (et pas que) ne font aucune différence entre définition et théorème jusqu'à ce qu'on prenne la peine de leur expliquer, en détail. J'ai plusieurs fois tenté de faire un cours de 3ème sans passer du temps à remettre en place la structure logique, et j'ai toujours fini par caquer car je ne pouvais pas travailler. Ne pas le faire c'est contraindre les élèves à se baser sur leur intuition, ce qui fonctionne uniquement pour une petite part d'entre eux. Les collègues qui refusent de le faire, c'est souvent parce qu'ils ne sont pas à l'aise avec ces notions que l'on utilise en permanence sans jamais les définir et qu'ils ne mesurent pas leur importance. Pour avoir testé les deux, je ne reviendrai pas en arrière la dessus. Dans un établissement vraiment difficile, le cours de logique serait évidemment à reconsidérer, au même titre que tous les autres chapitres que l'on ne peut y enseigner tels quels.
  • Dom : Je vais me répéter mais l'énoncé "$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n^2}= \frac{\pi^2}{6}$" n'est pas écrit sous la forme d'une implication (si... alors...), voir la fin de mon message. On peut s'amuser à formuler un énoncé équivalent au premier écrit sous la forme d'une implication mais d'une part ce n'est pas naturel du tout (personne n'exprime $1+1=2$ ou $0=0$ sous forme d'une implication...) et d'autre part il s'agit alors d'un énoncé différent ! Mon propos reste donc vrai : l'énoncé "$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n^2}= \frac{\pi^2}{6}$" ne vérifie pas la définition de propriété mathématique donnée dans l'image en début de fil.

    À noter que si $P$ est une proposition alors $(P \vee \neg P) \implies P$ est une proposition équivalente à $P$. On peut donc toujours s'amuser à reformuler un résultat (même un résultat du type $\exists x , ...$) comme une implication.


    Tout entier naturel est la somme de 4 carrés peut abréger (selon les conventions que l'on choisit) :
    \[
    \forall n \in \N, \exists p,q,r,s \in \N , n = p^2+q^2+r^2+s^2
    \]
    pas d'implication ici me semble-t-il.


    L'énoncé "$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n^2}= \frac{\pi^2}{6}$" peut abréger (selon les conventions que l'on choisit) :
    \[
    \exists L \in \R, \forall \varepsilon >0, \left(\exists N \in \N, \forall n \geq N, \left|\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}-L\right|<\varepsilon \right) \wedge \left(\exists N \in \N, \forall n \geq N, \left|\frac{1}{6} \left( 4 \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1} \right)^2-L\right|<\varepsilon\right)
    \]
    pas d'implication ici me semble-t-il.
  • Zeitnot : encore une fois je suis d'accord avec toi.

    Pour me faire le perroquet d'autres utilisateurs du forum, une définition n'est qu'une abréviation, rien de plus. On voit d'ailleurs leur intérêt dans les quantifications de mon message précédent, je suis obligé de faire des pirouettes couteuses en symboles latex juste pour parler de $\pi$...
  • Si on veut faire du trolling en jouant avec les formalisations, on peut formuler la logique formelle classique avec n'importe que jeu de connecteurs complet et il y a le choix, par exemple $\forall,\implies,\bot$ (et des formules atomiques -i.e. sans connecteurs - telles que $x\in y$). Avec ces derniers, tous les énoncés mathématiques du présent fil sont de la forme $X \implies Y$ où $X,Y$ sont d'autres énoncés.
    L'encadré du message inaugural dit entre autres qu'en maths il n'y a pas d'énoncés atomiques (ou $\bot$, qui pourrait être considéré comme atomique au fond), c'est un peu ça le problème ici: l'induction sans fond B-).
  • Merci pour vos précisions.
    En effet, c'est donc artificiel (au sens humain) de se forcer à faire du "Si ... alors ...".
    Cela dit, au collège, c'est souvent naturel d'avoir des "Si ... alors ..." (géométrie ou petits théorèmes avec du calcul littéral).

    Je suis assez d'accord avec toi, Soc.
    Distinguer Définition et Théorème n'est pas aisé et ça dure jusqu'au Lycée.
    En effet, "c'est quoi a/b ?" par exemple avant de commencer à travailler avec ou encore "c'est quoi -3 ?" avant de commencer... et même "c'est quoi 4 ?"...
    Les définitions sont primordiales et pourtant tellement peu connues. Même en L1 il m'arrivait de me lancer dans l'exercice sans connaître les définitions : c'est voué à l'échec.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!