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Continuité uniforme

Bonjour,

Dans mon livre, on donne les deux exemples ci-dessous mais il n'y a pas de démonstration.

L'application $\begin{array}[t]{cccl}f :& \R^{+*} &\longrightarrow& \R \\ &x& \longmapsto &\ln x\end{array}$ est continue mais pas uniformément continue.

L'application $\begin{array}[t]{cccl}g :& \R^{+*}& \longrightarrow &\R \\& x &\longmapsto &\sqrt{ x}\end{array}$ est uniformément continue mais pas lipschitzienne.


Je n'arrive pas à démontrer que $f$ n'est pas uniformément continue.
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Réponses

  • Quelle(s) méthode(s) connais-tu pour montrer qu'une fonction n'est pas uniformément continue ?
    Connais-tu la caractérisation séquentielle de l'uniforme continuité ?
  • Non je connais uniquement la définition suivante :

    $f : A \longrightarrow F$ est uniformément continue si :

    $\forall \varepsilon >0, \ \exists \eta >0 ,\ \forall (x,y) \in A^2 ,\quad ||x-y|| \leq \eta \implies ||f(x)-f(y)|| \leq \varepsilon$.

    La négation est :

    $\exists \varepsilon >0 ,\ \forall \eta >0 ,\ \exists (x,y) \in A^2, \quad ||x-y|| \leq \eta \ \text{et} \ ||f(x)-f(y)|| > \varepsilon$.
  • Tu n'as pas une caractérisation séquentielle de l'uniforme continuité quelque part ?
    C'est pratique pour justifier une non uniforme continuité.
  • Si tu ne l'as pas dans ton cours, tant mieux... Tu n'as qu'à la démontrer.

    Montre qu'une fonction $f$ définie sur une partie $A$ d'un evn et à valeurs dans un evn $F$ est uniformément continue sur $A$ si et seulement si pour tout couple de suites $u$ et $v$ d'éléments de $A$, si $u-v\rightarrow 0$ alors $f\circ u-f\circ v\rightarrow 0$.

    Ensuite, sers-toi de ce critère pour montrer que la fonction logarithme n'est pas uniformément continue sur l'intervalle dont on te parle.
  • JLapin et bisam : je ne savais pas qu'il y a une caractérisation séquentielle de la continuité uniforme, c'est bon à savoir.

    Je lui avais proposé de montrer que la racine carrée est uniformément continue en message privé il y a un petit moment. Je suis content de voir que son bouquin contient ce même exemple de base, et encore plus content qu'il n'y a pas de corrigé à pomper pour ça.
  • Curieusement je n'ai jamais vu la caractérisation non plus, même si on la devine.
  • Merci je vais y réfléchir et essayer de démontrer cette caractérisation séquentielle.
  • RLC et Homo Topi :
    La caractérisation séquentielle de la convergence uniforme est pourtant un grand classique et sert notamment à prouver le théorème de Heine en utilisant celui de Bolzano-Weierstrass.
  • Il faudrait que je regarde comment Heine est démontré dans mes bouquins, mais ça ne me dit rien dit comme ça.
  • Quand tu écris la négation de l'uniforme continuité, vient assez naturellement l'idée de construire deux suites vérifiant certaines propriétés...
  • Oui, bien sûr, je ne dis pas le contraire. Mais je ne crois pas l'avoir déjà vu quelque part, c'est tout.
  • Montrons que $f$ est uniformément continue si et seulement si pour toutes suites $(u_n)$ et $(v_n)$on a : $u_n -v_n \longrightarrow 0 \implies f(u_n) -f(v_n) \longrightarrow 0$

    Soit $f$ définie sur $A$.

    Supposons que $f$ est uniformément continue. Soit $\varepsilon >0$

    Il existe $\eta >0$ tel que $|| u_n -v_n || \leq \eta \implies || f(u_n)-f(v_n) || \leq \varepsilon$

    Comme $u_n -v_n \longrightarrow 0 $ il existe $N \in \N $ tel que $n \geq N \implies || u_n -v_n || \leq \eta$

    Ainsi pour $n \geq N$ on a $ || f(u_n)-f(v_n) || \leq \varepsilon$

    Par contraposée, si $f$ n'est pas uniformément continue alors $\exists \eta >0 \ \forall \eta >0 \ \exists (x,y) \in A^2$ tel que $||x-y|| \leq \eta$ et $||f(x)-f(y)|| > \varepsilon$

    Soit $\eta= 1/n$. On construit ainsi deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que $||u_n -v_n|| \leq 1/n$ donc $u_n -v_n \longrightarrow 0$ et $f(u_n) -f(v_n) $ qui ne tend pas vers $0$.
  • Posons $u_n =\dfrac{1}{n}$ et $v_n = \dfrac{1}{2n}$ qui sont bien à valeurs dans $\R^{+*}$.

    On a bien $u_n -v_n \longrightarrow 0$ mais $\ln(u_n)- \ln(v_n)=\ln 2$ qui ne tend pas vers $0$.

    On a montré que $f$ n'est pas uniformément continue sur $\R^{+*}$.

    Je vais au sport et j'essaierai de montrer que $g$ n'est pas lipschitzienne et qu'elle est uniformément continue.
  • Je n'avais jamais entendu parler de cette notion de 'uniformément continue'. Ou alors, j'ai totalement oublié, n'ayant pas ouvert de livre de maths depuis quasiment 40 ans.
    Je viens de lire la définition dans ton message ici.
    Ok. Clair. Du coup, si tu as compris ce que tu as écrit, la démonstration prend 3 minutes, non ?
  • Lourran étonnant.

    La démonstration de quel résultat prend 3 minutes ?
  • Au fait, à la fin de ta preuve, sais-tu justifier que la suite $(f(u_n)-f(v_n))$ ne tend pas vers $0$ ?
  • Si elle tendait vers 0 il existerait un rang pour lequel $|f(u_n) - f(v_n) | \leq \varepsilon$ ce qui contredit le résultat obtenu.
  • f uniformément continue.
  • Tu sais démontrer que f n'est pas uniformément continue sans utiliser les suites ?
  • Mais enfin ...
    La définition de 'uniformément continue', elle dit quoi, avec des mots simples : elle dit que pour tout intervalle 'vertical' Epsilon, aussi petit soit-il, on peut trouver une longueur 'horizontale' k, telle que l'image de tout intervalle de longueur inférieure ou égale à k sera un intervalle de longueur inférieure à epsilon.

    Et pour la fonction ln, on a cette asymptote verticale, et on voit immédiatement que pour tout couple (epsilon , k), on va trouver un petit intervalle, de longueur plus petite que k, et qui va avoir une image ln(a)-ln(b) > epsilon.

    On a le plan, on sait ce qu'on doit faire.
    Le calcul lui même, le couple de valeur (a,b) qui va servir de contre-exemple, on va galérer quelques secondes avant de le trouver.
    Mais on sait que c'est cette piste qu'il faut suivre.

    Toi, tu as dit que tu ne sais pas démontrer , et tu es incapable de montrer un début de réflexion... Au moment où tu postes cette question, tu ne sais pas dire que c'est l'asymptote verticale qui va poser problème ? Tu n'as pas le moindre plan pour répondre à la question ?
  • Pour montrer Heine à partir de Bolzano-Weierstrass ça se fait directement par la définition, en raisonnant par l'absurde. Pas forcément besoin de connaître le critère séquentiel, même si on utilise effectivement des suites dans la preuve.
  • C'est un peu dommage.

    J'avais proposé l'exo sur la racine carrée à OShine pour l'amener doucement à littéralement faire le dessin de ce que signifie la continuité uniforme. Pour l'inciter à faire des dessins dans les situations simples.

    Bon, tu ne lui as pas exactement indiqué le dessin que j'ai en tête, donc... ça va encore.
  • Lourran oui tu as raison je me suis perdu dans les quantificateurs sans penser graphiquement. Je pense avoir trouvé une preuve sans utiliser les suites, à confirmer si c'est juste.

    Prenons $\varepsilon=1$. D'après l'ordre des quantificateurs, le choix de $x$ et de $y$ dépend du $\eta$.

    Soit $\eta >0$ fixé. On choisit $x < \dfrac{ \eta}{e-1}$. Prenons $y=x+ \eta$. On a bien $|x-y| \leq \eta$. Par contre $|f(x)-f(y)|=\ln (\dfrac{x+ \eta}{x} ) \longrightarrow + \infty$ en $0^{+}$
    Avec ce choix de $x$ on aura $|f(x)-f(y)| > \varepsilon =1$

    Explication du choix de $x$ :
    On cherche $x$ assez petit de sorte que $\ln (\dfrac{x+ \eta}{x} ) >1$ soit $1+ \eta /x >e$ et donc $\eta /x > e-1$

    Ce qui donne $x/ \eta < \dfrac{1}{e-1}$ soit $x < \dfrac{ \eta}{e-1}$
  • Montre que si $f$ est uniformément continue sur $[0,1[$ alors elle est bornée. Puis conclure.

    ou

    Revenir à la définition avec $x=3/n$ et $y=1/n$. La distance $|x-y|$ est aussi petite que tu veux suivant les valeurs de $n\in\N^{*}$ et pourtant on a toujours $|\ln(x)-\ln(y)|>1$...

    Voilà deux moyens pour montrer la non uniforme continuité sans passer par des suites.
  • Et si on est sur $[1, +\infty[$ ?
  • Sur $[1,+\infty[$ on n'a pas de problème.

    Soient $(x,y) \in [1,+\infty[^2$ de sorte que $x <y$.

    La fonction $x \mapsto \ln (x)$ est continue sur $[x,y]$ et dérivable sur $]x,y[$. D'après le théorème des accroissements finis, il existe $c \in ]x,y[$ tel que $f(y)-f(x) \leq f'(c) (y-x)$

    Or $f'(c)= 1/c \leq 1$ car $c \geq 1$. Ainsi, $|f(y)-f(x)| \leq |y-x|$

    Par symétrie entre $x$ et $y$, le résultat est valable pour tout $(x,y)$. $f$ est 1 lipchitzienne sur $[1,+\infty[$, elle est donc uniformément continue.
  • J'ai achevé toutes les preuves B-)-

    Pour la fonction $g$, montrons qu'elle est uniformément continue. Montrons un résultat préliminaire.

    Soient $y \geq x >0$ alors $(\sqrt{y}- \sqrt{x})^2 = y+x-2 \sqrt{xy} \leq y-x$ donc $ \sqrt{y}- \sqrt{x} \leq \sqrt{y-x}$

    Soient $x \geq y >0$ alors $(\sqrt{x}- \sqrt{y})^2 = x+y-2 \sqrt{xy} \leq x-y$ donc $ \sqrt{x}- \sqrt{y} \leq \sqrt{x-y}$

    Ainsi $\boxed{\forall x,y >0 \ | \sqrt{y}- \sqrt{x} | \leq \sqrt{ |y-x|} }$

    Soit $\varepsilon >0$. Prenons $\eta= \varepsilon ^2 >0$.

    Pour $x,y >0$ si $|y-x| \leq \eta$ alors $ | \sqrt{y}- \sqrt{x} | \leq \sqrt{ |y-x|} \leq \sqrt{ \varepsilon ^2} = \varepsilon $

    Par l'absurde, si $g$ est lipschitzienne, alors il existe $k>0$ tel que $\forall x,y >0 \ \ |\sqrt{y}- \sqrt{x} | \leq k |y-x|$

    En particulier on aurait $\forall x>0 \ \dfrac{\sqrt{x}}{x} \leq k $ c'est absurde car $\dfrac{\sqrt{x}}{x}$ tend vers $+\infty$ au voisinage de $0$ donc pour un $x$ assez petit, cette quantité sera plus grande que $k$.
  • OShine a écrit:
    Lourran oui tu as raison je me suis perdu dans les quantificateurs sans penser graphiquement.

    Je corrige ton message :
    OShine a écrit:
    Lourran oui tu as raison je me suis perdu dans les quantificateurs sans penser.

    Quand on lit une définition, donnée avec des quantificateurs mathématiques, il faut la traduire à voix haute, avec des mots.
    Dans ton exercice, on parle de fonction uniformément continue, et de fonction lipschitzienne.
    Avec des mots simples, faciles à retenir, quelle est la différence entre ces 2 notions ?

    Ou, un peu plus simple : quelle est la différence entre une fonction non uniformément continue et une fonction non lipschitzienne ?
    Et surtout, est-ce que tu avais la réponse à cette question avant d'envoyer ton message, hier midi ?

    Ici, je pose ces questions pour les fonctions de R vers R ... la généralisation aux fonctions de C vers C , ou de C vers R ou .... ce n'est que de la généralisation.
  • Fonction lipschitzienne :

    $\exists k>0 \ \forall (x,y) \in A^2 \ \ |f(x)-f(y) | \leq k |x-y |$

    Déjà si $x$ et $y$ sont égaux, cela est vrai. Sinon cela revient à dire qu'il existe un réel $k$ positif tel que la valeur absolue de la pente de toute corde du graphe de $f$ soit inférieure à $k$. Cela revient à dire que la pente de toute corde de $f$ est bornée.

    Fonction non lipschitzienne :
    Il existe une corde du graphe de $f$ qui a une pente infinie.

    Par exemple la fonction $x \mapsto 1/x$ n'est pas lipschitzienne car la pente des cordes du graphe de la fonction est aussi pentue qu'on veut en se rapprochant de $0$.
  • C'est pas encore ça la logique Oshine... Quelle pente de la fonction exponentielle est infinie?
  • Je n'ai pas compris ta remarque.
  • Y a une erreur dans ta déf de non lipschitzien
  • En gros Oshine, la fonction exponentielle est non lipschitzienne je crois

    Du coup elle admet une corde de pente infinie. Tu peux m'en donner une?
  • OShine,

    Les pentes d'une fonction sont toutes finies. C'est leur borne supérieure qui peut éventuellement être infinie.
  • OShine,
    Ton message ici a un très vague rapport avec la question que je posais juste avant.
    C'est une réponse à ma question (totalement incomplète donc), ou c'est juste une coïncidence si le message a un très vague rapport ?
  • Lourran oui c'est vrai, ta question est intéressante.

    Une fonction est lipschitzienne signifie que la pente du graphe de toute corde de $f$ est bornée.

    Une fonction est uniformément continue si il existe un $\eta$ commun pour tous les couples $(x,y)$ tel que si la distance entre $x$ et $y$ est plus petite que ce $\eta$ alors la distance entre $f(x)$ et $f(y)$ est aussi petite que l'on souhaite.

    Je ne saurais pas expliquer la différence entre ces deux notions. Je ne vois pas de lien évident.

    Je sais juste qu'une fonction lipschitzienne est uniformément continue mais que la réciproque est fausse.
  • Pourquoi formuler les 2 notions avec des mots totalement différents ?

    En plus, tu te retrouves à 'traduire en français' une formule avec des quantificateurs, sauf qu'au passage, tu as perdu des quantificateurs en route. Ta définition de 'uniformément continue' est fausse.

    Pour les 2 fonctions ln et racine carrée, on a une branche'verticale', donc une branche avec une pente non bornée.
    Mais dans un cas, cette branche a une longueur finie, et pas dans l'autre.

    Si la pente est bornée sur tout l'ensemble de définition de la fonction, et si bien sûr la fonction est dérivable : la fonction a toutes les qualités, elle est lipschitzienne.
    Si on a une zone avec une pente non bornée, mais que cette zone est de longueur finie : pas lipschitzienne, mais quand même uniformément continue.
    Si on a une zone avec une pente non bornée, et que cette zone est de longueur infinie : nada, rien, la fonction est seulement continue et dérivable.

    Je ne suis pas certain que c'est ça. Le sujet ne m'intéresse que moyennement.
    Mais si le sujet m'intéressait, la première chose que je me ferais, c'est un aide-mémoire de ce type. Et je ferais valider cet aide-mémoire par des gens compétents avant de m'attaquer à des exercices.

    De la même façon qu'on classe les ensembles N inclus dans D inclus dans Q, inclus dans R ... on classe les fonction dans des ensembles, en définissant précisément ce qui différencie un ensemble du suivant.
    Et on fait en sorte de COMPRENDRE les objets qu'on manipule, avant de les manipuler. Pas après.
  • Pour plus de commodité, notons pour tout $\delta > 0$ :
    $$
    \omega(\delta) = \sup_{\substack{(x,y)\in I^2\\ |x-y| \leqslant \delta}} \ |f(x) - f(y)|.
    $$
    Par définition, $f$ est uniformément continue sur $I$ lorsque $\lim\limits_{\delta \to 0}\ \omega(\delta) \to 0$. Si $f$ est $k$-lipschitzienne, ceci est vrai car $\omega(\delta) \leqslant k\,\delta$ quelque soit $\delta > 0$.

    Mais il est clair qu'on peut avoir $\omega \to 0$ sans que $\omega$ soit sous-linéaire. Pour la racine carrée sur $\R_+$ par exemple, $\omega(\delta) = \sqrt \delta$.

    La fonction $\omega$ est ce qu'on appelle le module de continuité uniforme.
  • Je ne sais pas traduire en français des définitions compliquées avec plein de quantificateurs, ça change le sens exact et ça le rend faux.

    Mais je comprends l'ordre des quantificateurs et les définitions théoriques.

    Il vaut mieux que je me tienne aux définitions théoriques je crois.
  • Ben non tu ne les comprends pas si tu n'es pas capable de traduire dans le langage courant.
  • Je lui disais déjà ça il y a trois ans (*). mais on ne fait pas boire un âne qui n'a pas soif.

    Cordialement.

    (*) sur un autre forum.
  • Algorithme OShine :

    1- il ne comprend pas un truc
    2- il demande de l'aide
    3- il reçoit de l'aide
    4- il n'aime pas l'aide qu'il reçoit
    5- il fabrique une pseudo-explication comme quoi l'aide n'est pas bonne

    Je pense que la machine boucle sur l'étape 4. Il faut changer la façon dont l'utilisateur utilise la machine. Soit vous lui donnez un corrigé tout fait, avec chaque détail, et surtout un rapport du jury à l'appui comme quoi la question est faisable... soit vous éteignez la machine.

    Plus sérieusement OShine, tu ne remarques pas que ta façon de fonctionner est complètement débile ?

    Encore plus borné qu'un sinus, ce type.
  • l'algorithme OShine est fondé sur la propriété expérimentale suivante:
    $$\left( \forall question \in Questions \right)\left( \exists\, poire \in Poires \right)\left( {\rm repond}(poire, question) \wedge {\rm est\_fier\_de\_lui}(poire)\right)$$
    En particulier, il y a vraiment de quoi être fier de montrer l'eau à l'âne qui n'a pas soif, car ... (compléter après le pointillé, et envoyer à l'IUFM le plus proche).
  • Puisque tu en es à la continuité uniforme je propose les exercices suivants :

    Une fonction périodique et continue sur $\R$ est-elle uniformément continue ?

    Une fonction continue sur $\R$ ayant des limites finies en $\pm\infty$ (par exemple $x\mapsto \arctan x$ est-elle uniformément continue sur $\R$ ?

    En dimension finie peux-tu montrer qu'une application bilinéaire est continue sur l'espace source mais pas uniformément ?
  • pldx1 : C'est bien pour ça que j'ai nettement diminué ma façon de contribuer aux fils de OShine. Peut-être faudrait-il que je diminue encore plus, à voir.
  • Salut Homo Topi.

    Tu peux effectivement diminuer. D'autant qu'actuellement c'est Rackam qui s'y colle ... il fera son expérience (l'expérience de l'inutilité des aides à OS n'est malheureusement pas transmissible, c'est tellement incompréhensible !).

    Cordialement.
  • A ce jour @Oshine n'a pas encore rencontré le super-prof sur ce forum.
  • @Os, je crois tu ferais mieux de travailler dans ton coin. Fais tes exercices seuls, tu peux regarder les corrigés ou pas. De toute façon ce que tu fais ici, c'est lire les corrigés donnés ici et là par les participants. Donc tu n'apprends rien....et tu perds ton temps.
  • Pourquoi vous me donnez des exercices si vous dites que je ne comprends pas les définitions ?

    Homo Topi on dit que mes interprétations en français sont fausses tu veux que j'y fasse quoi ? Je ne sais pas les écrire en français sinon c'est faux à chaque fois. Du coup, j'abandonne je vais pas passer une journée à raconter des âneries.

    Par contre je sais appliquer la définition rigoureuse avec les $\epsilon$. Je n'ai critiqué personne :-S

    Bd2017 personne ne m'a donné de corrigé de mon exercice de base ici, je l'ai résolu moi-même. Bisam m'a donné une méthode de résolution il ne m'a pas donné la solution.
  • Ce que je veux que tu y fasses : que tu y travailles, comme on l'a tous fait, jusqu'à ce que tes interprétations en français ne soient plus fausses. J'hallucine que tu ne comprends pas ça ! Comment veux-tu faire des maths si tu n'arrives pas à interpréter les choses formelles en langage naturel ? Tu ne peux pas développer une intuition sans ça ! Les phrases en français et les dessins, c'est quand même la base de la communication ! On montre qu'on a compris en le communiquant à quelqu'un d'autre capable de vérifier.
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