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Transformée de Legendre

Bonsoir, j'ai un dm dans lequel on pose une fonction f* qui à y associe Max( xy- f(x) ) pour x dans R. Cette dernière est appelée transformée de Legendre de f.

Je précise que f est quelconque et sa dérivée en l'infini tend vers l'infini avec le même signe

On nous demande de montrer qu'une telle fonction est bien definie, ce qui est pas bien compliqué. Mais ensuite on nous demande de montrer que f* est convexe lorsque f l'est. Le problème ici est que j'ai montré que f* est bien convexe mais sans me servir de la convexité de f que l'on est censé supposer.

Effectivement, je suis parti du membre majorant ( celui avec lambda machin + (1-lambda) truc, qu'on est censé avoir à la fin ). Ensuite j'ai rentré les constantes dans les max et utilisé le fait que max f + max g >= max( f+g ).

Désolé pour les notations, je n'ai pas de logiciel avec lequel je peux écrire mathématiquement ce que j'ai, donc si certains d'entre vous en ont un à me conseiller je suis preneur.

Et donc ma question est : Me suis je trompé quelque part ?

Car si je ne me suis pas trompé cela voudrait dire que la convexité de f ne sert à rien ici.

Je remercie à l'avance ceux qui prendront le temps de me répondre.

Réponses

  • Pour $a, b \in \mathbb{R}$, et tout $x, t$ :

    \begin{align*}

    x((1-t)a + tb) - f(x) &= (1-t)(xa - f(x)) + t(xb - f(x)) \\
    &\leq (1-t) f^{*}(a) + tf^{*}(b)

    \end{align*}

    Et par passage au max j'ai l'impression que tu as raison.
  • Merci ! Donc la convexité n'intervient pas ici. Ça doit donc être utile par la suite alors.
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