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Point fixe (analyse numérique)

Soit la fonction $g: \mathbf{R}\to \mathbf{R}$ définie par
$$g(x):= 2-(1+\alpha)x+\alpha x^{3}, \quad \alpha \in \mathbf{R}.
$$ avec un point fixe $x^{*}=1$. Trouvez les valeurs de $\alpha$ qui garantissent que l'itération
$$x_{n+1}=g(x_{n}), \quad n\in \mathbf{Z}_{+}
$$
  1. converge vers $x^{*}=1$.
  2. converge linéairement vers $x^{*}=1$.
  3. converge de façon quadratique vers $x^{*}=1$.
Merci.

Réponses

  • Bonjour,

    Suivant l'habitude, lis la charte, puis montre ce que tu as fait pour le moment et dis quel est le point qui te bloque.

    D'autre part $\mathbb{Z_+}$ s'appelle $\mathbb{N}$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Ça m'a l'air de dépendre de $x_0$. Plus précisément, pour chaque $\alpha$ on peut trouver des $x_0$ pour lesquels la suite diverge.

    Une convergence linéaire, c'est à la vitesse d'une suite géométrique ? ou à la vitesse d'un $n^{-a}$ ?

    Addendum : pour $\alpha>0$, il y a au moins un autre point fixe que $1$. Si $x_0$ est ce point fixe, la suite est constante. L'énoncé n'est pas précis !
  • Bonjour
    Je connais le résultat suivant.

    Si $g\in \mathcal{C}^{2}[a;b]$ avec un point fixe $x^{*}\in [a;b]$ et la méthode numérique associée est donnée par $$x_{n+1}=g(x_{n}), \quad \forall n\in \mathbb{N}, \quad (**). $$ Ensuite,
    1. Si $|g'(x^{*})| <1 $, alors la méthode numérique $(**)$ est au moins linéairement convergente.
    2. $g'(x^{*})=0$, alors la méthode numérique $(**)$ est au moins quadratiquement convergente.
    En utilisant ce résultat,
    • $g\in \mathcal{C}^{2}[0;1]$ et $|g'(x^{*})|=|g'(1)|=|2\alpha-1|<1 \iff \alpha \in \,]0;1[$.
    • $g\in \mathcal{C}^{2}[0;1]$ et $g'(x^{*})=g'(1)=2\alpha-1 =0 \iff \alpha =\frac{1}{2}$.
    Par conséquent, en prenant $\alpha \in ]0;1[$, on peut être sûr que la méthode est au moins linéairement convergente et en prenant $\alpha=\frac{1}{2}$, on peut être sûr que la méthode est au moins quadratiquement convergente.

    Est-ce correct ?
  • Bonjour
    Non ce n'est pas correct. Car la convergence vers $x^*=1$ n'est pas assurée. Le choix de $x_0$ joue un rôle important.

    Par exemple prends $a=1/2$, et $x_0=0$,
    la suite $(x_n)$ diverge...
  • Cela devient correct si on ajoute une clause « et si $x_0$ est assez proche de $x^*$ ».
  • Merci pour votre commentaire Math Coss . Vous avez raison, $x_0$ doit être suffisamment proche de $x^{*}$ pour que les hypothèses du théorème du point fixe soient remplies et que ma solution soit transparente. Je l'avais en tête, mais je ne l'ai pas écrit.
  • De toute façon même en choisissant $x_0$ assez proche de 1 (d'ailleurs cela ne sera pas assez précis car je pense que l'énoncé demande un peu plus de précision que cela)
    mais ce que que tu as écrit n'est toujours pas correct.
    Ton travail est un peu léger.
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