Point fixe (analyse numérique)
dans Analyse
Soit la fonction $g: \mathbf{R}\to \mathbf{R}$ définie par
$$g(x):= 2-(1+\alpha)x+\alpha x^{3}, \quad \alpha \in \mathbf{R}.
$$ avec un point fixe $x^{*}=1$. Trouvez les valeurs de $\alpha$ qui garantissent que l'itération
$$x_{n+1}=g(x_{n}), \quad n\in \mathbf{Z}_{+}
$$
$$g(x):= 2-(1+\alpha)x+\alpha x^{3}, \quad \alpha \in \mathbf{R}.
$$ avec un point fixe $x^{*}=1$. Trouvez les valeurs de $\alpha$ qui garantissent que l'itération
$$x_{n+1}=g(x_{n}), \quad n\in \mathbf{Z}_{+}
$$
- converge vers $x^{*}=1$.
- converge linéairement vers $x^{*}=1$.
- converge de façon quadratique vers $x^{*}=1$.
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Réponses
Suivant l'habitude, lis la charte, puis montre ce que tu as fait pour le moment et dis quel est le point qui te bloque.
D'autre part $\mathbb{Z_+}$ s'appelle $\mathbb{N}$.
Cordialement,
Rescassol
Une convergence linéaire, c'est à la vitesse d'une suite géométrique ? ou à la vitesse d'un $n^{-a}$ ?
Addendum : pour $\alpha>0$, il y a au moins un autre point fixe que $1$. Si $x_0$ est ce point fixe, la suite est constante. L'énoncé n'est pas précis !
Je connais le résultat suivant.
Si $g\in \mathcal{C}^{2}[a;b]$ avec un point fixe $x^{*}\in [a;b]$ et la méthode numérique associée est donnée par $$x_{n+1}=g(x_{n}), \quad \forall n\in \mathbb{N}, \quad (**). $$ Ensuite,
- Si $|g'(x^{*})| <1 $, alors la méthode numérique $(**)$ est au moins linéairement convergente.
- $g'(x^{*})=0$, alors la méthode numérique $(**)$ est au moins quadratiquement convergente.
En utilisant ce résultat,- $g\in \mathcal{C}^{2}[0;1]$ et $|g'(x^{*})|=|g'(1)|=|2\alpha-1|<1 \iff \alpha \in \,]0;1[$.
- $g\in \mathcal{C}^{2}[0;1]$ et $g'(x^{*})=g'(1)=2\alpha-1 =0 \iff \alpha =\frac{1}{2}$.
Par conséquent, en prenant $\alpha \in ]0;1[$, on peut être sûr que la méthode est au moins linéairement convergente et en prenant $\alpha=\frac{1}{2}$, on peut être sûr que la méthode est au moins quadratiquement convergente.Est-ce correct ?
Non ce n'est pas correct. Car la convergence vers $x^*=1$ n'est pas assurée. Le choix de $x_0$ joue un rôle important.
Par exemple prends $a=1/2$, et $x_0=0$,
la suite $(x_n)$ diverge...
mais ce que que tu as écrit n'est toujours pas correct.
Ton travail est un peu léger.