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Forme des permutations dans $\mathfrak S_4$

Bonjour, dans $\mathfrak S_3$ je veux bien voir que les permutations prennent tous une des formes suivantes
  • $id$
  • $(12)$
  • $(123)$
En effet si je regarde selon le nombre de points fixés par ma permutation alors
  • Si ma permutation ne fixe aucun élément j'ai forcément un 3-cycle
  • Idem pour un seul élément alors j'ai une transposition
  • Idem plus que 2 alors l'identité
Maintenant pour les permutations dans $\mathfrak S_4$ il me semble qu'on a seulement les formes suivantes:
  • $id$
  • $(12)$ les transpositions
  • $(123)$ les 3-cycles
  • $(12)(34)$ les doubles transpositions
  • $(1234)$ les 4-cycles
Pour le montrer, j'ai essayé de décomposer en produits de transpositions:
  • 1 seule transposition c-à-d on a les transpositions
  • 2 transpositions: On regarde si on a un élément en commun: Si oui, on a un 3-cycle, sinon on a juste une double transposition (p.ex $(12)(34)$)
  • 3 transpositions: On a forcément une paire de transpositions avec un élément en commun ce qui nous donne au moins un 3-cycle.
    L'autre transposition restante a forcément aussi un élément en commun avec ce 3-cycle obtenu ce qui donne
    -Un 4 cycle (si on a 1 seul élément en commun)
    -Un élément de $\mathfrak S_3$ (si on a 2 éléments en commun)
  • 4 transpositions: On a par exemple $(12)(23)(34)(41)$, on souligne les 3 premières transpositions ce qui nous permet d'utiliser l'argument précédent, on se ramène aux cas précédents mais cette fois avec peut être un nouveau cas si on a obtenu un 4-cycle avec les 3 premières transpositions. Le produit d'un 4-cycle et d'une transposition par contre je ne vois pas très bien...

Je ne sais pas si j'ai la bonne méthode et je me suis un peu perdu vers la fin, merci pour votre aide.

Réponses

  • Tu peux utiliser le théorème de décomposition en produit de cycles à supports disjoints pour tout lister sans rien oublier.
  • Bonsoir,

    Tu peux aussi compter celles que tu as listées. Si tu en as $24$, tu n'as rien oublié.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Ah oui j'ai l'impression que c'est absolument trivial avec ton argument JLapin merci beaucoup!

    Rescassol: Oui on peut compter, j'a essayé mais il y a un problème: Par exemple pour les transpositions ok on a 2 parmi 4 donc 6, idem pour les 3-cycles je pense. Mais pour les 4-cycles on compte comment sans retomber sur une des formes précédentes?
  • Comptons les $r$-cycles dans $\mathfrak{S}_n$. Il faut d'abord choisir les $r$ éléments du support, soit $\binom{n}r$ choix. On les note $(i_1,\dots,i_r)$, classés disons par ordre croissant. Parmi les $r$ représentations d'un $r$-cycle, il y en a exactement une pour laquelle $i_1$ est en première position. Toute permutation des $r-1$ éléments suivants donne lieu à un $r$-cycle différent.
    Au bilan, cela fait $\binom{n}r(r-1)!=\dfrac{n!}{r\cdot(n-r)!}$ cycles de longueur $r$ dans $\mathfrak{S}_n$.
  • Math Coss, est-ce que vous pouvez m'expliquer la différence si je comptais au lieu $\binom{n}rr!$ ?
    Il y en a donc certaines comptées en trop mais lesquelles ?
    Merci.
  • Prenons $r=n=3$, de sorte que $\binom{n}r=1$. As-tu $3!$ cycles de longueur $3$ dans $\mathfrak{S}_3$ ? Non. Il y en a trois fois moins parce que les $3$-cycles $(123)$, $(231)$ et $(312)$ sont égaux. La façon de ne pas les compter plusieurs fois consiste à mettre le $1$ en première position, il faut alors placer $2$ et $3$ dans l'ordre que l'on veut. D'où $2!=2$ tels cycles.
  • Merci je comprends très bien cet argument, mais j'ai toujours un doute, pourquoi ne pas soustraire ces 3-cycles en trop? Car je crois que là on divise par 3.
  • Si on doit soustraire quelque chose, c'est $\frac23$ du nombre qu'on trouve puisque chacun est compté trois fois (une fois avec $x_1$ en première position, une fois avec $x_1$ en deuxième position, une fois avec $x_1$ en troisième position).

    Un argument plus formel ? À une $r$-liste $(i_1,\dots,i_r)\in\{1,\dots,n\}^r$ dont tous les éléments sont distincts, c'est-à-dire un arrangement de $r$ parmi $n$, on associe le $r$-cycle $(i_1\,i_2\,\cdots\,i_r)$. Combien d'antécédents possède un $r$-cycle donné ? Il en a $r$, ce sont les $r$-listes $(i_{k+1},i_{k+2},\dots,i_{k+r})$ pour $k=0,\dots,r-1$, où les indices sont compris modulo $r$ (i.e. $i_{r+1}=i_1$, $i_{r+2}=i_2$, etc.). (Il faudrait justifier qu'il n'y en a pas d'autres.)
    Il y a $\frac{n!}{(n-r)!}$ listes et donc $\frac{n!}{r\cdot(n-r)!}$ cycles de longueur $r$.
  • Je vois merci c'est clair :-)
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