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Polynôme du 3ème degré

Bonjour,
je me pose une question sur la réponse à une question d'un DM donné à des MPSI. (Ce DM était à rendre le 12 octobre, donc pas de pb de ce point de vue.)

Voici le début du sujet soient $p,q\in\mathbb{R}$ et $P(x)=x^3+px+q$. On a déjà montré que $p\ge 0 \implies P$ a exactement une racine réelle. Ensuite, on regarde le cas $p<0$. On demande de montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes, dans lesquelles $\alpha$ est un réel à préciser :
$$ (i)\quad P\textrm{ possède 3 racines réelles} \qquad (ii)\quad P(-\alpha)P(\alpha)>0 \qquad (iii)\quad 4p^ 3+27q^2<0.

$$ Je pense qu'il faut prendre $\alpha = \sqrt{\frac{-p}3}>0$ tel que $P'(\alpha)=P'(-\alpha)=0$. L'équivalence ($ii) \iff (iii)$ est alors immédiate. En revanche, j'ai cherché à montrer rigoureusement (c'est un DM de sup, donc j'imagine que le correcteur attend une réponse parfaitement rédigée) que $(i) \iff (ii)$, et je n'ai pas trouvé de preuve très courte. Je n'ai qu'un truc un peu laborieux. L'intuition est immédiate, ce n'est pas le problème : si on note $x_1$, $x_2$ et $x_3$ les 3 racines, et qu'on suppose $x_1 < x_2 < x_3$, alors nécessairement $x_1 < -\alpha < x_2 < \alpha < x_3$. Mais reste ensuite à montrer ça rigoureusement, si on veut avoir les points (et c'est bien l'objectif)(enfin, pas pour moi, là, mais c'est l'objectif d'un DM !).

Voici les grandes [lignes] de mon raisonnement. Pour $(i) \implies (ii)$, avec les notations ci-dessus. Je commence par montrer que $P(\alpha)P(-\alpha)=-(\alpha^2-x_1^2)\cdot (\alpha^2-x_2^2) \cdot (\alpha^2-x_3^2)$. Or $\alpha^2 - x_i^2 = -\frac{P'(x_i)}3$ de sorte que $P(\alpha)P(-\alpha)=\frac1{27}P'(x_1)P'(x_2)P'(x_3)$. Ensuite $P(x) = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$, donc $P'(x_i)=\prod_{j\ne i} (x-x_j)$. Donc $P'(x_1)=(x_1-x_2)(x_1-x_3)$ et comme $x_1 < x_2$ et $x_1< x_3$, on en déduit que $P'(x_1)>0$; on prouve de la même façon que $P'(x_2)<0$ et $P'(x_3)>0$, et finalement $P(-\alpha)P(\alpha)$ est le produit de deux termes strictement positifs et d'un terme strictement négatif, de sorte qu'il est strictement négatif.

La réciproque est un peu plus rapide. On suppose que $P(-\alpha)P(\alpha)<0$, et comme $P(\alpha)-P(-\alpha)=\frac43 \alpha p <0$, $P(\alpha)$ est nécessairement $<0$ et $P(-\alpha)>0$. Finalement, on a une première racine $< -\alpha$, une autre $\in]-\alpha;\alpha[$, et la troisième $>\alpha$.

[Dans une vraie rédaction, je détaille un peu plus, genre sur $\frac43 \alpha p<0$, je rappelle que $\alpha >0$ et $p<0$. Là, je vous ai juste mis les principales étapes.]

Bref, tout ça me semble bien lourd, et je me demandais s'il existait une méthode parfaitement rigoureuse plus rapide. Le parfaitement rigoureuse exclut toute réponse du type "C'est trivial", merci !

Réponses

  • Vu que $P'$ ne s'annule pas à part en $\pm\alpha$, la fonction $P$ est strictement monotone sur $\left]-\infty,-\alpha\right]$, sur $[-\alpha,\alpha]$ et sur $\left[\alpha,+\infty\right[$. Elle a donc au plus une racine sur chacun de ces intervalles et si elle en a trois en tout, disons $x_1$, $x_2$ et $x_3$ classées dans cet ordre, on a $x_1\le -\alpha\le x_1\le\alpha\le x_3$. Si on comprend « trois racines réelles » comme « trois racines réelles distinctes » (i.e. on ne compte pas avec multiplicité), il devient impensable que $x_i=\pm\alpha$ parce que cela donnerait une racine double.
  • Merci, ça marche bien pour $(i) \implies (ii)$.

    Je me demandais aussi s'il y avait plus efficace/simple, pour montrer l'équivalence des trois propositions, que $(i) \implies (ii)$, $(ii) \implies (i)$ et $(ii) \iff (iii)$, comme la méthode circulaire $(i) \implies (ii) \implies (iii) \implies (i)$.
  • Mmh. Si l'équivalence entre (ii) et (iii) est immédiate, c'est sans doute parce que $-P(-\alpha)P(\alpha)=4p^3+27q^2$ (à un scalaire près ?). Le passage direct de (iii) à (i) me semble beaucoup plus difficile que ton argument pour passer de (ii) à (i). En tout cas je ne vois pas bien comment exploiter la quantité $4p^3+27q^2$ sans utiliser l'égalité précédente, qui revient à partir de (ii).
  • Dresse un tableau de variation de la fonction $P$ et tu peux en déduire directement que $(i)$ équivaut à $(ii)$.

    Pour $(ii)\Leftrightarrow (iii)$, c'est un calcul direct.
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